圆幂和根轴

1.点对圆的幂:设它是从平面上的一个固定点出发，割向某圆并与该圆相交的两条有向线段的乘积，称为点对这个确定圆的幂。

2.交线定理和割线定理统称为圆幂定理。

3.由截弦定理和切线定理可知，一个固定点对一个固定圆的幂是一个常数值。设(为圆心)半径为，为点对的幂，在圆外时，；当在一个圈子里时；当在一个圆上时。

4.两个已知圆的幂等元点的轨迹是一条垂直于中心线的直线。

事实上，如果从点到和的幂是相等的，并且半径分别为、、、，那么，就是

不变。

如图，如果中点为，则。

同样的，

减去上面两个表达式，常数。

因此，过定点M的垂线就是两个圆的轨迹。

这条直线叫做两个圆的根轴。

特别地，如果两个圆是同心的，那么。

即同心圆的根轴不存在；如果变成一个点，点对的幂就是。

此时，直线(轨迹)称为圆和某一点的根轴。

5.根轴具有以下重要属性:

性质1如果两个圆相交，其根轴就是弦所在的直线。

性质2如果两个圆相切，其根轴就是通过两个圆切点的公切线。

性质3三个圆，它们的根轴相交于一点或彼此平行。