《九章算术》这本书讲了哪些数学问题？

《九章算术》是中国一部很古老的数学书，它系统总结了战国、秦汉时期的数学成就，它的写成，经过了很多人长时间修改删补，到东汉时期才逐渐形成定本，其中的第十三题“五家共井”问题是当时世界上最早的研究不定式方程的问题。

《九章算术》的叙述方式以归纳为主，先给出若干例题，再列出解决这类问题的一般方法。这和古希腊数学的代表著作欧几里得(约公元前330～前275年)的《几何原本》以演绎为主的叙述方式有明显的不同。它对我国后世数学的发展一直有很大的影响，曾经被历代规定作为进行数学教育的教科书，是所谓“算经十书”之一。

《九章算术》全书收有246个数学问题，分为九大类，就是“九章”。第一章“方田”，主要讲各种田亩面积的算法；第二章“粟米”，主要讲各种谷物按比例交换的算法；第三章“衰分”，主要讲按等级或比例进行分配的算法；第四章“少广”，主要讲已知面积和体积反求它一边的算法；第五章“商功”，主要讲有关土石方和用工量的各种工程的算法：第六章“均输”，主要讲按人口多少和路途远近等条件来摊派税收和分派劳力(徭役)的算法；第七章“盈不足”，主要讲两次假设来解决某些难解问题的算法；第八章“方程”，主要讲联立一次方程组的解法和正负数的加减法法则；第九章“勾股”，主要讲勾股定理的应用、直角相似三角形和一元二次方程的解法。

“五家共井”问题的内容是：五户人家合用一口井，若用甲家的绳2条，乙家的绳1条接长；从井口放下去，正好抵达水面；另外或用乙家的绳3条，丙家的1条；或用丙家的4条，丁家的l条；或用了家的5条，戊家的1条：或用戊家的6条，甲家的1条接长，也都一样正好抵达水面，问井的深度及各家的绳长各为多少?

由于原题包含有两个以上的未知量，它没有给出答案的范围和别的特定条件，因此排出方程后有无穷多组解，这样的方程就叫作“不定方程”。如果该题的长度单位为寸，那么它的最小正整数解如下：

井深721寸，甲家的绳长为265寸，乙家的长191寸，丙家的长148寸，丁家的长129寸，戊家的长76寸。

西方最早研究不定方程的人是古希腊亚历山大里亚城的丢番都，时间约在公元4世纪。他比《九章算术》的年代要迟300多年。到了13世纪，中国宋朝的数学家秦九韶在他所著的《数书九章》(1247年)中提出了“大衍求一术”，实际上这就是解一次不定方程的通法，而欧洲到了18世纪，才由瑞士数学家欧拉创立了一次不定方程的一般解法。

秦九韶的“大衍求一术”，不但远比欧洲发明得早，有其历史上的崇高地位，而且在方法上也比欧洲人的办法来得简洁、具体，易于作数值计算。直到现在，与现代数论里头的“一次同余式”的方法相比较，仍有其优越性。所以这个算法一贯被欧美学者所推崇，称为“中国的剩余定理”。