代数表达式计算
代数表达式中的一个有理表达式。如果没有除法运算或分数，如果有除法运算和分数，但除法或分母中没有变量，则称为代数表达式。
代数表达式可分为定义和运算，定义可分为单项式和多项式，运算可分为加减乘除。
加法和减法包括合并相似的项目。乘除法包括基本运算、规则和公式。基本运算可以分为幂运算。规则可分为代数式和除法，公式可分为乘法公式、零指数幂和负整数指数幂。
代数表达式和类似项目
1.单项的
(1)单项式的概念:数字和字母的乘积的代数表达式称为单项式，单个数字或字母也是单项式。
注意:数字和字母有乘积关系。
(2)单项的系数:单项中的字母因子称为单项的系数。
如果一个单项式只包含字母因子，则正单项式的系数为1，负单项式的系数为-1。
(3)单项式的次数:单项式中所有字母的指数之和称为单项式的次数。
2 .多项式
(1)多项式的概念:几个单项式之和称为多项式。在多项式中，每个单项式称为多项式项，不带字母的项称为常数项。有几项的多项式称为多项式。多项式中的符号被视为每一项的自然符号。
(2)多项式的次数:多项式中次数最高的项的次数就是该多项式的次数。
(3)多项式的排列:
1.按字母的指数降序排列多项式称为按字母降序排列多项式。
2.按照一个字母的指数从小到大排列一个多项式，叫做按照这个字母的升幂排列多项式。
由于一个多项式是几个单项式的和，所以每一项的位置都可以通过加法的运算法则来交换，同时保持原多项式的值不变。
为了方便多项式的计算，通常将一个多项式按照一定的顺序排列成整齐简单的形式，这就是多项式的排列。
做多项式排列的题时要注意:
(1)由于单项的项包含了其前面的属性符号，所以每一项的属性符号仍应视为该项的一部分，一起移动。
(2)两个或两个以上字母的多项式的排列应注意:
A.首先，一定要按照哪个字母的索引来排列。
B.决定是否根据这封信来安排。
(3)代数表达式:
单项式和多项式统称为代数表达式。
(4)类似物品的概念:
字母相同、次数相同的项称为相似项，几个常数项也称为相似项。
在掌握类似物品的概念时要注意:
1.判断几个单项式或项是否为相似项，必须掌握两个条件:
①包含相同的字母。
②同一封信的次数相同。
2.相似项与系数或字母顺序无关。
3.几个常数项也是类似的项。
(5)合并相似项:
1.合并相似项目的概念:
将多项式中的相似项合并成一项称为合并相似项。
2.合并相似项目的规则:
相似项的系数相加在一起，结果作为系数，字母和字母的索引不变。
3.要合并相似的项目:
(1).准确地找出相似的项目。
⑵.颠倒分布规律，将相似项的系数加在一起(用括号括起来)，字母及其指数不变。
(3).写合并后的结果。
在掌握类似项目的合并时要注意:
1.如果两个相似项的系数相反，合并相似项后结果为0。
2.不要遗漏不能合并的项目。
3.只要没有更多的相似项，就是结果(要么是单项，要么是多项式)。
相似项合并的关键:正确判断相似项。
代数表达式和代数表达式的乘法
代数表达式可分为定义和运算，定义可分为单项式和多项式，运算可分为加减乘除。
加法和减法包括合并相似的项目。乘除法包括基本运算、规则和公式。基本运算可以分为幂运算。规则可分为代数式和除法，公式可分为乘法公式、零指数幂和负整数指数幂。
同底数的乘方法则:同底数的乘方相乘，同底数的指数相加。
幂定律:幂，常数基，指数乘法。
积的幂定律:积的幂等于分别乘以积的各个因子，然后乘以得到的幂。
单项式与单项式相乘有以下规则:将单项式分别与它们的系数和相同的底数相乘，其他字母及其指数作为乘积的阶乘不变。
单项式与多项式相乘有以下规则:单项式与多项式相乘就是将多项式的每一项与单项式相乘，然后将乘积相加。
多项式与多项式相乘有以下规则:多项式与多项式相乘，先将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，然后将所得乘积相加。
平方差公式:两个数之和与这两个数之差的乘积等于这两个数的平方差。
完全平方公式:两个数之和的平方等于这两个数的平方和，加上这两个数乘积的两倍。两个数之差的平方等于这两个数的平方和，减去这两个数乘积的两倍。
同底数幂相除，底数保持不变，指数相减。
浅谈代数表达式的学习要点
涂新民
代数式是代数中最基本的公式，所以需要引入代数式，还需要学习以下内容(如分数、一元二次方程等。).在研究有理数运算、简单代数表达式、线性方程组和不等式的基础上，引入了代数表达式。其实代数表达式的相关内容在六年级就已经学过了，只是现在代数表达式的内容比过去应用性更强，增加了实际应用的背景。
本章知识结构框图:
这一章有很多知识点是重点或者难点。重点和难点内容如下。
一、代数表达式的四则运算
1.代数表达式的加法和减法
合并相似项是重点和难点。合并相似项时要注意以下三点:①掌握相似项的概念，才能区分相似项，准确掌握判断相似项的两个标准字母和字母索引；(2)定义合并相似项的含义是将多项式中的相似项合并为一项。合并相似项后，公式中的项数会减少，从而简化多项式；(3)“合并”是指将同类项目的系数相加，所得结果作为新的系数，同类项目的字母和字母索引应保持不变。
2.代数表达式的乘法和除法
重点是代数表达式的乘除法，尤其是乘法公式。乘法口诀的结构特点和公式中字母的广泛含义是学生难以掌握的。所以乘法公式的灵活应用是有难度的，括号内符号的处理是加(或去)括号时的另一个难点。加括号(或去括号)是多项式的变形，要按照加括号(或去括号)的规律进行。在代数表达式的乘除法中，单项的乘除法是关键，因为一般多项式的乘除法要“转化”为单项的乘除法。
代数表达式四则运算的主要问题是:
(1)单项式的四则运算
这类题多以选择题和应用题的形式出现，特点是考查单项式的四则运算。
(2)单项和多项式的运算
这类题多以解题形式出现，技巧性强，以考查单项式和多项式的四则运算为特征。
第二，因子分解
难点是因式分解的四种基本方法(提公因子、用公式、分组因式分解、交叉乘法)。因式分解是代数表达式乘法的反向变形，因式分解法的引入要牢牢把握这一点。
多项式多项式
由几个单项式之和组成的公式称为多项式(在减法中，减去一个数等于加上它的逆)。多项式中的每个单项式称为一个多项式项，这些单项式的最高次就是这个多项式的次。没有字母的项目称为常量项目。如果一个公式中最高项的次数为5，并且这个公式由三个单项式组成，则称为五次三项式。
在更广泛的定义中，1或0单项式的和也是多项式。根据这个定义，多项式就是代数表达式。其实没有一个定理只对窄多项式有效，对单项式无效:当0是多项式时，次数为负无穷大。
编辑此多项式历史
多项式的研究起源于“解代数方程”，是最古老的数学问题之一。有些代数方程，如x+1=0，在接受负数之前被认为无解。其他多项式，比如f(x)=x？+1没有根——严格来说，没有真正的根。如果我们允许复数，那么实多项式和复多项式都有根，这是代数的基本定理。
多项式的根能否用根式解法表示，曾是文艺复兴以后欧洲数学的主要课题。一元二次多项式的根相对容易。三次多项式的根需要用复数来表示，甚至是实多项式的实根。四次多项式也是如此。多年以后，数学家们仍然找不到一个求解带根五次多项式的通用方法。最后在1824中，阿贝尔证明了这个一般方法不存在，震惊了很多人。若干年后，伽罗瓦引入了群的概念，证明了五次或五次以上的多项式没有用根求解的通用方法，其理论被推广到伽罗瓦理论。伽罗瓦的理论也证明了古希腊难题角三等分是不可能的。另一个难题，化圆为方的不可能证明，也和多项式有关。证明的中心是圆周率是一个超越数，即它不是有理多项式的根。
编辑本段的多项式函数和多项式的根。
多项式f∈R[x1，...，xn]和一个R-代数a。对于(a1...an)∈An，我们用aj代替F中的xj，得到A中的一个元素，记为f(a1...安)。这样，f可以看作是从An到a的函数。
如果f(a1...an)=0，则(a1...an)称为f的根或零点。
比如f=x2+1。如果X是实数，复数，或者矩阵，那么F就没有根，有两个根，有无穷个根！
比如f=x-y如果X是实数或者复数，那么F的零集合就是all (x，X)的集合，是代数曲线。其实所有的代数曲线都来源于此。
编辑这一段中的代数基本定理
代数基本定理是指所有一元n次(复)多项式都有n个(复)根。
编辑此多项式的几何属性。
多项式是简单的连续函数，它是光滑的，它的微分一定是多项式。
泰勒多项式的精神是用多项式逼近一个光滑函数，闭区间内所有连续函数都可以写成多项式的一致极限。
编辑本段中任意环上的多项式。
多项式可以推广到系数在任一环中的情况。请参考多项式环项目。
操作顺序
先乘后除，
加减之后。
没有括号，
先做吧。
同行操作，
从左到右。
掌握操作顺序
不忙！
定义:将一个多项式转化为几个代数表达式的乘积。这个变形叫做这个多项式的因式分解，也是因式分解。
意义:它是中学数学中最重要的恒等变形之一。它在初等数学中应用广泛，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解法灵活巧妙。学习这些方法和技巧，不仅是掌握因式分解的内容所必需的，而且对培养学生的解题技巧和发展思维能力有着非常独特的作用。学习它不仅可以复习代数表达式的四则运算，还可以为学习分数打下良好的基础；学好它不仅可以培养学生的观察能力、注意力和计算能力，还可以提高学生的综合分析和解决问题的能力。
因式分解和代数表达式乘法是逆变形。
编辑这一段因式分解的方法
因式分解没有通用的方法。在初中数学教材中，主要介绍了提高公因子、利用公式、分组因式分解和交叉乘法的方法。竞赛中有分裂加项法、待定系数法、双叉乘法、旋转对称法、留数定理法等。
编辑本段的基本方法
(1)公因子法
每一项的公因数称为这个多项式的每一项的公因数。
如果多项式的每一项都有一个公因子，就可以提出这个公因子，这样多项式就可以转化为两个因子的乘积。这种分解因素的方法叫做提高公因子法。
具体方法:当所有系数都是整数时，公因数公式的系数要取所有系数的最大公约数；字母取每一项的同一个字母，每个字母的索引取最小的数字；取最低次的同一个多项式。
如果多项式的第一项为负，通常提出一个“-”号，使括号中第一项的系数变为正。提出“-”号时，应改变多项式的各项。
比如:-am+BM+cm =-m(a-b-c)；
a(x-y)+b(y-x)= a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
⑵运用公式法。
如果乘法公式反过来，有些多项式可以分解成因子。这种方法叫公式法。
平方差公式:a2-B2 =(a+b)(a-b)；
完全平方公式:a 22ab+b 2 =(a b)2；
注:可以用完全平方公式分解因子的多项式一定是三项式，其中两个可以写成两个数(或公式)的平方和，另一个是这两个数(或公式)的乘积的两倍。
立方和公式:a3+B3 =(a+b)(a2-a b+B2)；
三次差分公式:a3-B3 =(a-b)(a2+a b+B2)；
完全立方公式:a 3 3a 2b+3ab 2 b 3 = (a b) 3。
其他公式请参考上图。
比如:A 2+4A B+4B 2 = (A+2B) 2(见右图)。
初中编辑本段应掌握的方法
⑶分组分解法
(4)拆分和补充项目的方法
这种方法是指把一个多项式的一项拆开或把两项(或几项)彼此相反的项填满，使原公式适合于通过提高公因式法、利用公式法或分组分解法进行分解。需要注意的是，变形必须在与原多项式相等的原则下进行。
比如:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
= BC(c-a)+ca(c-a)+BC(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)。
你也可以看到右边的图片。
⑸匹配方法
对于一些不能用公式法的多项式，可以用完全平坦的方式拟合，然后用平方差公式进行因式分解。这种方法称为匹配法。属于拆项补项法的特例。还需要注意的是，变形必须在与原多项式相等的原则下进行。
例如:x 2+3x-40
=x^2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)^2-(6.5)^2
=(x+8)(x-5)。
你也可以看到右边的图片。
[6]交叉乘法。
这种方法有两种情况。
①x2+(p+q)x+pq型公式的因式分解。
这类二次三项式的特点是:二次项的系数为1；常数项是两个数的乘积；线性项的系数是常数项的两个因子之和。所以我们可以直接分解一些系数为1:x ^ 2+(p+q)x+pq =(x+p)(x+q)的二次三项式因子。
②kx2+MX+n型公式的因式分解
如果k=ac，n=bd，ad+bc=m，那么kx 2+MX+n = (ax+b) (CX+d)。
图表如下:
一个b
×
c d
例如，因为
1 -3
×
7 2
和2-21=-19，
所以7x 2-19x-6 = (7x+2) (x-3)。
交叉相乘的公式:头尾分解，交叉相乘，求和。
多项式因式分解的一般步骤:
(1)如果多项式项有公因子，那么先提公因子；
(2)如果没有公因子，那就尝试用公式和交叉乘法来分解；
(3)如果以上方法无法分解，可以尝试分组、拆分、添加条目的方式进行分解；
(4)必须进行因式分解，直到每个多项式因式分解都不能再分解为止。
也可以用一句话来概括:“先看有没有公因数，再看有没有公式。试试十字乘，分组分解要合适。”
几个例子
1.分解因子(1+y)2-2x 2(1+y 2)+x 4(1-y)2。
解:原公式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)。
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)。
你也可以看到右边的图片。
2.验证:对于任意实数x，y，下面公式的值不会是33:
x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5.
解:原公式=(x ^ 5+3x ^ 4y)-(5x ^ 3y ^ 2+15x ^ 2y ^ 3)+(4xy ^ 4+12y ^ 5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)。
(因式分解过程也可以在右图中看到。)
当y=0时，原公式= x 5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，33不能分成四个以上不同因子的乘积，所以原命题成立。
3.△ ABC的三边A、B、C有如下关系:-C 2+A 2+2AB-2BC = 0。证明这个三角形是等腰三角形。
解析:此题本质上是对关系等号左边的多项式进行因式分解。
证明:∫-C2+a2+2ab-2bc = 0，
∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0.
∴(a-c)(a+2b+c)=0.
∵a，B，C是△ABC的三条边，
∴a+2b+c>0.
∴a-c=0，
即a = c且△ABC是等腰三角形。
4.因式分解-12x 2n×y n+18x(n+2)y(n+1)-6x n×y(n-1)。
解:-12x 2n×y n+18x(n+2)y(n+1)-6x n×y(n-1)。
=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1).
你也可以看到右边的图片。
编辑本次比赛中使用的方法。
阶乘定理的应用。
对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，则f(x)必须包含因子x-a .
比如f (x) = x 2+5x+6，f(-2)=0，就可以确定x+2是x 2+5x+6的一个因子。(实际上是x 2+5x+6 = (x+2) (x+3)。)
替代法。
有时候在因式分解的时候，可以选择多项式的相同部分，用另一个未知数替换，然后因式分解，最后再转换回来。这种方法叫做替代法。
注意:换完人民币别忘了还。
比如分解(x 2+x+1) (x 2+x+2)-12时，可以使y = x 2+x，那么
原公式=(y+1)(y+2)-12。
=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x^2+x+5)(x^2+x-2)
=(x^2+x+5)(x+2)(x-1).
你也可以看到右边的图片。
(9)寻根法
设多项式f(x)=0，求其根为x1，x2，x3，...xn，则该多项式可分解为f (x) = (x-x1) (x-x2) (x-x3)...(x-xn)。
比如分解2x 4+7x 3-2x 2-13x+6时，设2x 4+7x 3-2x 2-13x+6 = 0。
通过综合除法，方程的根是0.5，-3，-2，1。
所以2x 4+7x 3-2x 2-13x+6 =(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)。
⑽形象法
设y=f(x)，作函数y=f(x)的像，求函数像与X轴的交点，x1，x2，x3，…xn，...Xn，则该多项式可因式分解为f (x) = f (x) = (X-X1) (X-X2)。
与⑼法相比，它可以避免求解方程的复杂性，但不够精确。
比如分解x 3+2x 2-5x-6，可以使y = x 3+2x 2-5x-6。
作其像，与X轴的交点为-3，-1，2。
那么x3+2x 2-5x-6 =(x+1)(x+3)(x-2)。
⑾主成分法
首先选择一个字母作为主元素，然后按照字母的个数从高到低排列项目，再进行因式分解。
⑿特殊价值法
将2或10代入X，求出数P，将数P分解为质因数，适当组合质因数，将组合后的各因数写成2或10的和与差，将2或10化简为X，从而得到因式分解。
比如分解x 3+9x 2+23x+15时，设x=2，那么
x^3 +9x^2+23x+15 = 8+36+46+15 = 105，
105分解成三个质因数的乘积，即105 = 3× 5× 7。
注意多项式中最高项的系数是1，而3，5，7分别是x+1，x+3，x+5，当x=2时，
那么x 3+9x 2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后为真。
[13]待定系数法
首先判断因式分解因子的形式，然后设置相应代数表达式的字母系数，求出字母系数，从而分解多项式因子。
比如分解x 4-x 3-5x 2-6x-4时，分析表明这个多项式没有一次因子，所以只能分解成两个二次因子。
所以设x4-x3-5x 2-6x-4 =(x2+ax+b)(x2+CX+d)。
=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd
因此，a+c=-1，
ac+b+d=-5，
ad+bc=-6，
bd=-4。
解是a=1，b=1，c=-2，d =-4。
那么x4-x3-5x 2-6x-4 =(x2+x+1)(x2-2x-4)。
你也可以看到右边的图片。
[14]双交叉乘法。
双叉乘法属于因式分解的一种，类似于叉乘法。用一个例子来说明如何使用。
举例:分解因子:x2+5xy+6y 2+8x+18y+12。
解析:这是一个二次六项公式，可以考虑用双叉乘法进行因式分解。
解决方案:
x 2y 2
① ② ③
x 3y 6
∴原始公式= (x+2y+2) (x+3y+6)。
双交叉乘法包括以下步骤:
(1)先用十字乘法分解二次项，如十字乘法图(1)中的x2+5xy+6y ^ 2 =(x+2y)(x+3y)；
②根据一个字母(如Y)的第一个系数给常数项打分。比如十字乘法图②中的6y 2+18y+12 =(2y+2)(3y+6)；
③按另一个字母(如X)的第一个系数查，如十字乘法图③。这一步不能省略，否则容易出错。
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