波动率的平均恢复特性分析
业界和学术界对股票和指数收益的均值恢复的研究很多，但对波动率的均值恢复的研究相对较少。本文以VIX为例，分析了其统计特性和均值回复特性。
VIX指数
VIX指数是CBOE发布的波动率指数，是指数期权隐含波动率的加权平均值，也被称为“恐慌指数”。通过对VIX指数的研究，可以为判断市场情绪和趋势提供依据。本文主要利用2003年10月2日65438+至2006年9月21日的VIX指数数据进行实证研究。
样本中VIX的趋势如图1所示。可以直观地看到，波动率指数一旦偏离均值太远，就会趋于接近均值，这符合均值回归的定义，所以可以说VIX可能具有均值回归的特征。
图1VIX趋势
下面我们用统计方法来检验VIX指数。
VIX平均恢复试验
检验时间序列均值回复性的方法有很多，最常见的是单位根检验和自相关检验，然后分别用这两种方法检验VIX指数。
单位根检验
这里，我们选择Pillips-Perron检验来判断VIX指数序列是否服从单位根过程。建立如下线性方程:vixt = α+ρ vixt-1+δ t+ε t原假设H0 ∶ ρ = 1且δ = 0如果检验结果的p值小于设定的显著性水平，则拒绝原假设，时间序列不存在单位根，说明时间序列具有均值回复的特征。
利用Matlab工具箱对VIX指数进行Pillips-Perron检验，得到H=1，p值。
自相关检验
如果时间序列的变化率显著负相关，则认为该时间序列具有均值回复的特征。
VIX指数收益率的自相关测试结果如图2所示，横轴代表滞后阶数，纵轴是自相关系数。当图中箭头线在水平线区间内时，表示对应阶次的自相关不显著，反之，表示对应阶次的自相关显著。
图2VIX自相关测试
可以看出，变动指数确实存在一阶滞后负自相关，而且这种负相关是显著的，说明自相关检验方法表明VIX指数具有均值恢复的特征。综上所述，两种检验方法都表明VIX指数具有均值回复的特征。
平均恢复间隔的研究
在证明了VIX指数确实具有均值回复的特性后，我们可以通过对历史数据的分析找到一个合适的均值回复区间。接下来，让我们大致观察一下VIX指数的分布特征。
以21的移动平均线为参照物，构建如下指标:rari oi = VIXI-MATδT，它象征着VIX指数偏离移动平均线T的比例(T=21)。我们可以假设rarioi & gt答，VIX指数将趋于回归均值。我们以a=2为例，即rarioi & gt2点，VIX均值在随后1-70天的走势，以及VIX值回归均值的概率如图4所示。
图3VIX统计特征
图4回归趋势和概率
可以看出，一方面VIX确实有下降趋势，另一方面VIX均值的趋势和VIX值回归均值的概率都在30天、60天左右达到了局部最大(最小)值。这可能表明VIX指数的平均回归周期为30天左右。因为VIX不是对称分布的，所以VIX回归区间的上下限是不同的。我们可以观察到VIX指数落在上下界不同的回归区间的概率。
对于不同的比率阈值，VIX指数落在MAT-rariodong× δ t和MAT+rarioup×δT的概率如图5所示。
如果VIX指数90%的概率落在回归区间内，结合上述结果，取raridown =-1.8，rarioup=2.1较为合适。对于raridown =-1.8和rarioup=2.1，VIX指数的走势及其上下界的走势如图6所示。
不同上下界下VIX指数落在区间上的概率。
图6波动趋势
这些区间的确定可以作为VIX指数衍生品投资的参考。一旦VIX跌出这个区间的下限，我们就可以看多VIX，一旦VIX超过这个区间的上限，我们就可以看空VIX指数。
摘要
本文用两种方法来检验VIX的均值回复特性，两种方法都表明VIX指数确实具有均值回复特性。这一结论可以应用于我们对市场情绪和市场趋势的研究。VIX指数的平均回升意味着VIX指数不可能长期处于低位或高位。这意味着，如果VIX指数在短期内过高或过低，它可能包含市场将发生变化的信息。此外，本文通过分析历史数据确定了VIX指数的回归区间。
需要指出的是，均值回归的理论应用并不仅限于判断VIX指数的走势，均值回归的现象在很多金融时间序列中非常普遍。比如投资股票价格的均值回复，可以通过研究行业指数的均值回复来制定行业配置的投资策略，通过研究市场指数的走势来做市时机。