圆与直径关系的发现史
实验时间
通过实验估算π的值，这是计算π的第一步。这种对π值的估计基本上是基于观察或实验，是基于对一个圆的周长和直径的实际测量。在古代世界中，π = 3这个值实际上使用了很长时间。最早的文字记录是基督教《圣经》中的一章，在这一章中圆周率被认为是3。这段描述的事件发生在公元前950年左右。其他国家，如巴比伦尼亚、印度、中国等。，早就用上了3的粗糙，简单，实用的价值。在我国刘徽之前，“圆直径一和星期三”广为流传。中国第一部著作《周髀算经》记载了圆“周三直径为一”的结论。在我国，木匠有两个传世的公式:叫做:“三周直径为一，正方形为五，斜七”，意思是直径为1的圆是周长约为3，边长为5的正方形，对角线长约为7。这反映了早期人们对π和√2这两个无理数的粗略估计。东汉时期，政府还明确规定圆周率应以3为计算面积的标准。后来人们称之为“古率”。
早期的人们也使用其他粗糙的方法。比如在古埃及和古希腊，把谷粒放在一个圆上，通过比较谷粒的数量和正方形的数量得出数值。或者用平衡重量板把它锯成一个圆和一个正方形，通过称重来比较数值...因此，可以获得稍微好一点的pi值。比如古埃及人用4 (8/9)2 = 3.1605，用了大约四千年。在印度，公元前6世纪，π= √10 = 3.162。中国东西汉之交，新朝王莽命刘欣做一个量器——吕佳两湖。刘鑫在制造标准容器的过程中需要用到圆周率的值。为此，他还通过做实验得到了一些关于圆周率的非均匀近似。现在根据铭文计算出来的数值分别是3.1547，3.1992，3.1498，3.438+0，比古代的一周三周率有所提高。人类勘探的结果，在主要估算圆田面积时，对生产影响不大，但不适合制作器皿或其他计算。
几何方法周期
通过直观推测或物理测量计算π值的实验方法相当粗糙。
首先，阿基米德使圆周率的计算有了科学依据。他是第一个对这个常数进行科学研究的人，他首先提出了一种方法，可以通过数学过程而不是测量的方式，使π的值精确到任意精度。于是，pi计算的第二阶段开始了。
圆的周长大于内接正四边形，小于外切正四边形，所以2 √ 2 < π < 4。
当然，这是一个很糟糕的例子。据说阿基米德用一个正96边形来计算他的射程。
阿基米德寻找圆周率更精确近似值的方法体现在他的一篇论文《圆的确定》中。在这本书中，阿基米德第一次用上下界来确定π的近似值。他用几何证明了“圆的周长与圆的直径之比小于3+(1/7)大于3+(10/71)”，他还提供了误差的估计。重要的是，这种方法理论上可以得到更准确的圆周率值。到公元150年左右，希腊天文学家托勒密已经得出π = 3.1416，这是自阿基米德以来的巨大进步。
包皮环切。不断用勾股定理计算正N边形的边长。
在中国，数学家刘徽首先得到了更精确的圆周率。公元263年左右，刘徽提出了著名的割线术，得到π = 3.14，通常称为“徽率”。他指出这是一个近似值。虽然他提出割圆比阿基米德晚，但它的方法确实比阿基米德的方法更美。环切只是利用内接正多边形来确定圆周率的上下界，比阿基米德同时利用内接正多边形和外切正多边形要简单得多。另外，也有人认为刘辉在割圆术中提供了精彩的整理方法，以至于他通过简单加权平均得到了pi = 3927/1250 = 3.1416有四位有效数字。而这个结果，正如刘辉自己指出的，如果这个结果是通过圆切割的计算得到的，需要切割成3072个多边形。这种整理方法的效果非常好。这种神奇的精加工技术是圈切最精彩的部分，可惜因为人们对它缺乏了解，它被埋没了很久。
祖冲之的贡献恐怕你更熟悉。对此，《隋书法纪》的记载是这样记载的:“宋末，南徐州搞祖冲之更秘法。以圆直径一亿为高，周向丰数为三尺、一尺、四寸、一分、五毫米、九秒、七秒，以及三尺、一尺、四寸、五毫米、九毫米、两秒、六秒，正数介于余数和两个极限之间。密度:圆直径113，周长355。关于率，圆直径七，星期二十二。”
该记载指出，祖冲之对《圆周率》有两大贡献。一是求圆周率。
3.1415926 < π < 3.1415927
其次，得到π的两个近似分数:近似率为22/7；加密率为355/113。
他计算出的π的8位可靠数字，不仅是当时最精确的圆周率，而且保持了900多年的世界纪录。以至于有数学史家提议把这个结果命名为“祖先率”。
这个结果是怎么来的？追根溯源，祖冲之能取得这一非凡的成就，正是基于对刘徽割线技法的继承和发展。所以，我们在赞美祖冲之成就的时候，不要忘记，他的成就是因为站在了刘徽这位伟大的数学人的肩膀上而取得的。后人估算过，如果简单的通过计算内接于圆的多边形的边长得到这个结果，那么就需要计算内接于圆的多边形才能得到这么精确的值。祖冲之有没有用其他巧妙的方法来简化计算？这个不得而知，因为记录其研究成果的《篆书》早已失传。这是中国数学发展史上非常令人遗憾的事情。
中国发行的祖冲之纪念邮票
祖冲之的研究成果享誉世界:“发现宫”科学博物馆的墙上介绍着祖冲之获得的圆周率，莫斯科大学礼堂的走廊上镶嵌着祖冲之的大理石雕像，月球上有以祖冲之命名的环形山...
人们通常不太注意祖冲之关于π的第二个贡献，即他用两个简单的分数，尤其是密度来近似π。然而，其实后者在数学上更重要。
密度和π之间的近似度不错，但形式简洁美观，只用了1，3，5这几个数字。数学史家梁宗举教授考证，在所有分母小于16604的分数中，没有比密度更接近π的分数。在国外，西方人得到这个结果是在祖冲之死后一千多年。
可见，提出保密率并不容易。人们自然想知道他是怎么得到这个结果的。他是怎么把圆周率从一个用小数表示的近似值变成一个近似分数的？这个问题一直为数学史家所关注。因文献失传，祖冲之解不详。后人对此进行了各种各样的推测。
我们先来看看国外历史上的作品，希望能提供一些资料。
1573年，德国人奥托得出了这个结果。他用了阿基米德的结果22/7和托勒密的结果377/120，类似于加法过程的“合成”:(377-22)/(120-7)= 355/113。
1585年，荷兰人安图奥尼用阿基米德的方法得到:333/106 < π < 377/120，并把它们作为π的母逼近，分子和分母分别平均，用加法过程得到结果:3 ((15+65438)。
虽然两人都得到了祖冲之秘息，但使用方法都是耦合，没什么道理可言。
在日本国内，17世纪-何的重要著作《围合的算法》第四卷，创立了化零术，其实质是用加法过程求近似分数。他以3和4为母近似值，连续加六次得到祖冲之的近似率，加一百一十二次得到秘密率。学生们改进了这种愚蠢的分步方法，提出了从相邻的亏和盈的近似值相加的方法(其实就是我们前面说的加法过程)。从3和4开始，第六次加法到近似率，第七次加法是25/8，最接近的22/7加法是47/15，以此类推，只要加23次。
在《中国算术史》(1931)中，钱宗炎先生提出祖冲之采用“日本调整法”或加权加法过程，由何承天首创。他构思了祖冲之秘率的过程:以157/50的徽率和22/7的近似率为母近似，计算出加法权重x=9，所以(157+22×9)/(50+7×9)= 355/1658。钱先生道:“承天之后，用其技造秘率，也有趣。”