几何起源的故事
原来的几何概念逐渐形成比较浅薄的几何知识，是生产实践的需要。虽然这些知识是分散的，而且大多是经验性的，但几何学是建立在这些分散的、经验性的、表面的几何知识之上的。
几何是数学最古老的分支之一，也是该领域最基本的分支之一。中国古代、古巴比伦、古埃及、古印度、古希腊都是几何学的重要发源地。
大量出土文物证明，在中国史前时期，人们已经掌握了大量的几何学基础知识。一看古代人们使用的物品上绘制的许多精美对称的图案，以及一些设计简单但讲究体积和体积比例的器皿，就足以说明当时人们掌握了多么丰富的几何知识。
希腊学者的工作在使几何学成为一门系统的学科中起到了关键的作用。两千多年前，古希腊商业繁荣，生产相对发达。一群学者渴望追求科学知识，而对几何的研究是最有趣的内容。这里要提到的是哲学家柏拉图和哲学家亚里士多德对几何学发展的贡献。
柏拉图将逻辑学的思维方法引入几何，使原有的几何知识在逻辑学的指导下逐渐向系统、严谨的方向发展。柏拉图在雅典教他的学生几何，并用逻辑推理论证了几何中的一些命题。亚里士多德被公认为逻辑学的创始人，他的三段论演绎推理方法对几何学的发展影响很大。直到今天，在初等几何中，三段论仍然被用于推理。
然而，尽管当时几何知识丰富，但这些知识仍然是分散的、孤立的、不系统的。真正把几何归纳为一门理论严密的学科的是杰出的希腊数学家欧几里得。
欧几里德在公元前300年左右去亚历山大教书。他是一位受人尊敬、温和而诚实的教育家。他热爱数学，知道柏拉图的一些几何原理。他非常详细地收集了当时所能知道的所有几何事实，并按照柏拉图和亚里士多德提出的逻辑推理的方法，编成了一套体系严密的理论，写出了数学史上早期的巨著——《几何原本》。
《几何原本》的重大历史意义在于，它是最早用公理化方法建立演绎数学体系的模型。在这本书里，所有的几何知识都是从最初的除法假设和逻辑推理发展和描述的。也就是说，几何自《几何原本》出版以来，才真正成为一门具有相对严密的理论体系和科学方法的学科。
欧几里得的《几何原本》
欧几里得的《几何原本》共十三卷，其中第一卷讲三角形全等的条件，三角形的边和角的关系，平行线的理论，三角形和多边形的等积(等面积)的条件；第二册讲的是如何把三角形变成乘积相等的正方形；第三卷讲圈子；第四卷讨论内接和外切多边形；第六册讲相似多边形理论；第五、七、八、九、十卷描述比例和算术增益的理论；最后描述了立体几何的内容。
从这些内容可以看出，中学课程中初等几何的主要内容已经完全包含在几何元素中了。因此，长期以来，人们认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教材。属于几何学要素的几何称为欧几里德几何，或简称欧几里德几何。
《几何原本》最重要的特点是建立了严格的几何体系，其中主要有定义、公理、公设和命题(包括画法和定理)四个内容。《几何原本》第一册有23个定义，5个公理，5个公设。(最后一个公设就是著名的平行公设，或者说第五公设。引发了两千多年来几何史上最著名的平行线理论大讨论，最终诞生了非欧几何。)
这些定义、公理和公设是整本书《几何原本》的基础。基于这些定义，公理和假设，整本书逻辑地发展其各个部分。比如后面出现的每一个定理，都说明了什么是已知，什么是验证。我们要根据前面的定义、公理、定理进行逻辑推理，并给出仔细的证明。
关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析、综合和归谬法。所谓分析方法，就是假设所要求的已经得到，分析此时成立的条件，从而实现证明的步骤；综合法是从以前已经证明的事实出发，逐步推导出要证明的事项；反证法是在保留命题的假设下否定结论，从结论的反面出发，从中推导出与已证明的事实或已知条件相矛盾的结果，从而证实原命题的结论是正确的，也称反证法。
欧几里得《几何原本》的诞生在几何学发展史上具有重要意义。标志着几何学已经成为一门具有相对严密的理论体系和科学方法的学科。
自欧几里得发表《几何原本》以来，已经有两千多年了。尽管科学技术飞速发展，欧几里得几何仍然是中学生学习数学基础知识的好教材。
由于欧几里得几何具有直观鲜明、逻辑演绎方法严密的特点，成为青少年在长期实践中培养和提高逻辑思维能力的良好教材。不知道历史上有多少科学家受益于研究几何，做出了巨大贡献。
十几岁时，牛顿在剑桥大学附近的一家夜总会买了一本《几何》。起初，他认为书的内容并没有超出常识的范围，所以并没有认真读，而是对笛卡尔的《坐标几何》很感兴趣，专心致志地读了起来。后来牛顿在4月参加奖学金考试时落选，1664。当时的考官巴罗博士对他说:“因为你的几何基础知识太差了，再怎么努力也不行。”这次谈话给了牛顿很大的震动。然后，牛顿从头到尾学习了《几何原本》，为以后的科学工作打下了坚实的数学基础。
爱因斯坦这位现代物理学的科学巨星，也是一位精通几何并运用几何思维方法创造自己研究工作的科学家。爱因斯坦在回忆自己走过的路时，特别提到十二岁时，“几何的清晰和可靠给我留下了难以形容的印象。”后来，几何学的思维方法真正启发了他的研究工作。他多次提出，在物理研究中，也要从所谓公理的几个基本假设出发，进行逻辑上的论证。在狭义相对论中，爱因斯坦用这种思维方式将整个理论建立在两个公理上:相对性原理和光速不变原理。
在几何学发展史上，欧几里得的《几何原本》发挥了重要的历史作用。这个作用归结到一点，就是提出了几何学的“基础”及其逻辑结构。在他的《几何原本》中，他用逻辑的链来展开所有的几何，这是前所未有的。
但是，在人类认识的长河中，再高明的前辈和名家，也不可能解决所有的问题。由于历史条件的限制，欧几里得在《几何原本》中提出的几何学的“基础”问题并没有得到彻底解决，他的理论体系并不完善。比如直线的定义，其实就是一个未知的定义去解释另一个未知的定义，这样的定义在逻辑推理中起不到任何作用。再比如，欧几里得在逻辑推理中使用了“连续性”的概念，但在《几何原本》中从未提及。
现代几何的公理系统
《几何原本》中逻辑结果的一些漏洞和瑕疵的发现，是推动几何学不断发展的契机。最后，德国数学家希尔伯特在1899年出版的《几何基础》一书中，在总结前人工作的基础上，提出了一个比较完善的几何公理体系。这个公理系统叫做希尔伯特公理。
希尔伯特不仅提出了完善的几何体系，而且提出了建立公理体系的原则。即在一个几何公理系统中，应该采用哪些公理，包含多少公理，要从以下三个方面考虑:
第一，共存(和谐)是指在一个公理系统中，所有的公理应该是不矛盾的，它们在同一个系统中和谐共存。
第二，独立性，公理系统中的每一个公理都应该是独立的，相互独立的，没有一个公理可以从其他公理推导出来。
第三，完备性，公理系统中包含的公理应该足以证明本学科的任何新命题。
这种用公理系统来定义几何中基本对象及其关系的研究方法，就成了数学中所谓的“公理化方法”，欧几里得在《几何原本》中提出的系统就叫经典公理化方法。
公理化方法给几何研究带来了新的视角。在公理化理论中，因为没有定义基本对象，所以不需要探究对象的直观形象是什么，只需要研究抽象对象之间的关系和性质。从公理化规律的角度来看，我们可以任意用点、线、面来表示具体的事物，只要这些具体的事物满足公理中的组合关系、序列关系、契约关系，使这些关系满足公理系统中规定的要求，就构成了几何。
所以，一切符合公理体系的元素都可以形成几何，每种几何的直观形象不只有一个，可能有无穷多个。我们把每一个直观的图像称为几何的解释，或者几何模型。熟悉的几何图形在学习几何时并不是必须的，它只是一个直观的形象。
在这方面，几何学研究的对象更加广泛，几何学的意义也比欧几里德的时代更加抽象。这些都给现代几何学的发展带来了深远的影响。