傅立叶变换的相关性
拉格朗日是对的:正弦曲线不能组合成有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常近似地表示它，这样两种表示就没有能量差了。基于此，傅立叶是对的。
之所以用正弦曲线代替方波或三角波，是因为分解信号的方法有无穷多种，但分解信号的目的是为了更简单地处理原始信号。用正弦和余弦来表示原信号会更简单，因为正弦和余弦有一个原信号没有的性质:正弦保真。输入一个正弦信号后，输出仍然是正弦的，只有幅度和相位可能发生变化，但频率和波形仍然相同。而只有正弦曲线才有这种性质，这也是我们不用方波或者三角波来表示的原因。
为什么选择三角函数而不是其他函数进行分解？我们从物理系统特征信号的角度来解释。我们知道自然界的很多现象都可以抽象成一个线性时不变的系统来研究，无论你用微分方程、传递函数还是状态空间来描述。线性时不变系统可以理解为:输入输出信号满足线性关系，系统参数不随时间变化。对于自然界中的许多系统来说，输入一个正弦信号后，输出仍然是正弦的，可能只是幅度和相位发生了变化，但频率和波形仍然是一样的。也就是说正弦信号是系统的特征向量！当然，指数信号也是系统的特征向量，表示能量的衰减或积累。自然界中的衰减或扩散现象大多是指数的，或者既有波动又有指数衰减(复指数形式)，所以特征基函数由三角函数变为复指数函数。然而，如果输入是方波、三角波或任何其他波形，输出不一定是它看起来的样子。因此，除指数信号和正弦信号外的其他波形都不是线性系统的特征信号。
之所以用正弦曲线代替方波、三角波或其他函数，是因为正弦信号恰好是许多线性时不变系统的特征向量。这就是傅立叶变换。对于更一般的线性时不变系统，复指数信号(代表耗散或衰减)是系统的“特征向量”。于是就有了拉普拉斯变换。z变换也是如此，z变换是离散系统的“特征向量”。这里没有区分特征函数和特征向量的概念。主要是想表达它们是一样的，只是一个是有限维向量，一个是无限维函数。
傅立叶级数和傅立叶变换其实就是我们之前讨论过的特征值和特征向量的问题。分解信号的方法有无数种，但分解信号的目的是为了更简单地处理原始信号。这样用正弦和余弦来表示原始信号会更简单，因为正弦和余弦有一个原始信号没有的性质:正弦保真。而且只有正弦曲线才有这种性质。
这也解释了为什么当我们遇到一个信号时，我们会尽量用正弦或复数的形式来表达；为什么方波或三角波那么“简单”，我们还要发展得那么“麻烦”；为什么我们都绞尽脑汁用正弦展开一个不规则的“非周期”信号？因为正弦(或复指数)是一个特征向量。什么是时域？从我们出生开始，我们看到的世界就贯穿着时间，股票的走势，人的高度，车的轨迹都会随着时间而变化。这种以时间为参照物观察动态世界的方法叫做时域分析法。而我们也理所当然地认为，世界上的一切都是随着时间不断变化的，永远不会停止。
什么是频域？频域是用来描述信号在频率上的特性的坐标系。线性代数的语言是正弦函数的空间。频域最重要的性质是它不是实的，而是一种数学结构。频域是遵循特定规则的数学范畴。正弦波是频域唯一的波形，这是频域最重要的规则，即正弦波是频域的描述，因为任何时域的波形都可以用正弦波合成。
对于一个信号来说，信号强度随时间的变化规律就是时域特性，频域特性就是由哪些单频信号合成的信号。
时域分析和频域分析是信号的两个观察面。时域分析是以时间轴为坐标表示动态信号的关系；频域分析就是把信号换成一个频率轴作为坐标。总的来说，时域表示更形象直观，而频域分析更简洁，分析问题更深刻方便。目前信号分析的趋势是从时域到频域。然而，它们是相互关联、不可或缺和相辅相成的。贯穿时域和频域的方法之一就是传说中的傅立叶分析。傅立叶分析可以分为傅立叶级数和傅立叶变换。根据原始信号的不同类型，我们可以把傅立叶变换分为四类:
1非周期连续信号的傅里叶变换。
2周期性连续信号的傅立叶级数。
3非周期离散信号的离散时间傅立叶变换。
4周期性离散信号的离散傅里叶变换。
下图是四个原始信号的图例:
这四种傅里叶变换都是针对正负无穷大的信号，也就是信号的长度是无穷大。我们知道这是计算机无法处理的，那么有没有长度有限的傅里叶变换呢？不能，因为正弦和余弦波是从负无穷大到正无穷大定义的，所以我们不能把一个无限长的信号组合成一个有限长的信号。面对这个困难，方法是把一个长度有限的信号表示成一个长度无限的信号，信号可以从左到右无限延伸，延伸的部分用零表示。这样，这个信号就可以看作是一个非周期性的解离信号，我们可以用离散时域傅立叶变换的方法。还有，我们可以通过复制来扩展信号，使信号成为周期性的离散信号，然后我们可以通过离散傅立叶变换来对其进行变换。这里我们要学习的是离散信号，不会讨论连续信号，因为计算机只能处理离散的数值信号，我们的最终目的是用计算机处理信号。
但对于非周期信号，我们需要用无限不同频率的正弦曲线来表示，这是计算机无法做到的。因此，只有离散傅立叶变换(DFT)可以应用于离散信号的变换。对于计算机来说，只能处理离散的和有限长度的数据。对于其他变换类型，只能在数学微积分中使用。在计算机面前，我们只能用DFT方法，这也正是我们后面要理解的。这里需要明白的是，我们使用周期信号是为了用数学方法解决问题，考虑周期信号是从哪里或者如何获得的是没有意义的。
每次傅里叶变换分为两种方法:实数法和复数法。实数法是最好理解的一种，但复数法要复杂得多，你需要了解关于复数的理论知识。但是如果你理解了实离散傅立叶变换(实DFT)，那么理解复傅立叶就更容易了，所以我们先把复傅立叶放在一边，先理解实傅立叶变换。后面我们先讲一下关于复数的基础理论，然后在理解实傅里叶变换的基础上。
如上图所示，实信号的四种变换分别在时域和频域表示。
另外，我们这里要讲的变换虽然是数学变换，但它不同于函数变换，它符合一对一的映射准则。对于离散数字信号处理(DSP)，有很多变换:傅立叶变换、拉普拉斯变换、z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等。，它扩展了函数转换的定义，并允许输入和输出有多个值。简单来说，转型。傅立叶变换是数字信号处理领域中的一种重要算法。要知道傅里叶变换算法的意义，首先要了解傅里叶原理的意义。傅立叶原理表明，任何连续测量的时间序列或信号都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。基于该原理的傅里叶变换算法，利用直接测得的原始信号，通过累加计算出该信号中不同正弦波信号的频率、幅值和相位。
与傅立叶变换算法相对应的是傅立叶逆变换算法。这个逆变换本质上也是一个累加的过程，让单独变化的正弦波信号转换成信号。因此，可以说傅立叶变换是将原本难以处理的时域信号转化为易于分析的频域信号(信号频谱)，而这些频域信号可以通过一些工具进行处理和加工。最后，这些频域信号可以通过傅立叶逆变换转换成时域信号。
从现代数学的角度来看，傅立叶变换是一种特殊的积分变换。它可以将满足一定条件的函数表示为正弦基函数的线性组合或积分。在不同的研究领域，傅里叶变换有许多不同的变体，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
在数学领域，虽然傅立叶分析最初是作为热力过程的解析分析工具，但其思维方法仍然具有典型的还原论和分析论的特点。“任意”函数可以通过一定的分解表示为正弦函数的线性组合，正弦函数是物理学中已经得到充分研究的比较简单的函数类:1。傅立叶变换是线性算子，如果给定适当的范数，它仍然是酉算子；2.傅里叶变换的逆变换很好找，形式和正变换很像；3.正弦基函数是微分运算的固有函数，从而使线性微分方程的求解转化为常系数代数方程的求解。线性卷积运算是一种简单的乘积运算，它提供了一种计算卷积的简单方法。4.在离散傅里叶物理系统中，频率是一个不变的性质，因此系统对复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获得；5.著名的卷积定理指出，傅里叶变换可以转化为复变换，可以用数字计算机快速计算(其算法称为FFT)。
由于上述良好的性质，傅立叶变换被广泛应用于物理、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域。
图像的傅立叶变换
图像的频率是表征图像中灰度变化强度的指标，是平面空间中灰度的梯度。比如大面积的沙漠是图像中灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而表面属性变化剧烈的边缘区域是图像中灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有明显的物理意义。如果F是一个能量有限的模拟信号，它的傅立叶变换代表F的频谱..从纯数学的角度来看，傅立叶变换是把一个函数转换成一系列周期函数来处理。从物理效果来说，傅里叶变换是将图像从空间域变换到频率域，它的逆变换是将图像从频率域变换到空间域。换句话说，傅里叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数转化为图像的频率分布函数，傅里叶逆变换是将图像的频率分布函数转化为灰度分布函数。
在傅立叶变换之前，图像(未压缩的位图)是通过在连续空间(真实空间)中采样获得的一系列点的集合。我们曾经用二维矩阵表示空间中的每个点，所以图像可以用z=f(x，y)来表示。因为空间是三维的，图像是二维的，所以空间中的物体在另一维度上的关系用梯度来表示，这样我们通过观察图像就可以知道物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上图像的二维傅里叶变换得到的光谱就是图像梯度的分布图，当然光谱上的点和图像上的点不是一一对应的，即使是在没有频移的情况下。傅里叶谱图上明暗不一的亮点，其实就是图像上某一点与相邻点的差值，也就是梯度，也就是该点的频率(可以理解为图像低频部分是指梯度低的点，高频部分则相反)。一般来说，如果梯度大，点的亮度强，否则亮度弱。这样，通过观察傅里叶变换后的声谱图，也就是所谓的功率图，我们首先可以看到图像的能量分布，如果声谱图中暗点较多，那么实际图像就比较柔和(因为每个点与其邻域差别不大，梯度比较小)，反之，如果声谱图中亮点较多，那么实际图像就一定是锐利的，边界清晰，边界两侧像素差别较大。将频谱移动到原点后，我们可以看到图像的频率分布是以原点为中心对称的。除了能清楚地看到图像的频率分布，将频谱向圆心偏移还有一个好处。它可以分离出具有周期性规律的干扰信号，如正弦干扰，以及具有正弦干扰的频谱。可以看到，在除中心外的某一点周围，有一组对称分布的亮点，这是干扰噪声造成的。这时候在这个位置放一个带阻滤波器就可以直观的消除了。
此外，还解释了以下几点:
1，图像经过二维傅立叶变换，变换系数矩阵表明:
如果变换矩阵Fn的原点设置在中心，则其频谱能量集中在变换系数短数组的中心附近(图中阴影区域)。如果二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设置在左上角，则图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅里叶变换本身的性质决定的。同时，这也表明图像能量集中在低频区域。
2.变换图像的四个角在原点平移前是低频最亮的，中间部分在平移后是低频最亮的。亮度高说明低频能量大(振幅角比较大)。它得到了发展和扩展，并构造了其他形式的积分变换:
从数学角度理解积分变换，就是通过积分运算把一个函数变成另一个函数。也可以理解为计算内积，然后变成一个函数到另一个函数的投影:
K(s，t)积分变换的核。当选择不同的积分域和变换核时，得到不同的积分变换名称。学术上说，投影到核空间，就是把原问题转化到核空间。所谓内核空间，就是这个空间里充满了内核函数。下表列出了常见的转换及其内核函数:
当然，选择什么样的核心主要取决于你所面临的问题的特点。不同的问题有不同的特点，会对应特定的核函数。以核函数为基函数。将当前坐标投影到内核空间将简化问题。之所以叫核，是因为它是核心的地方。为什么你只熟悉傅里叶变换和拉普拉斯变换，而没听说过其他变换？因为复指数信号是描述世界的特征函数！