★什么是非标准分析？什么是超实数？什么是无穷小？★
普通数学分析，也叫标准分析，主要是微积分，是研究现实世界中连续变量及其关系的数学分支。它的基本概念是取值于实数系范围内的变量和函数的概念，研究方法是极限论。所以标准分析是指19世纪柯西、维尔斯特拉斯等人建立的微积分理论。他们在数学证明中用极限法代替了无穷小法，对微积分理论进行了更严密的逻辑论证。他们的理论比17、18世纪的微积分理论前进了一大步。这表现在它创造了一系列判别规则，发现了一些关于函数连续性和可微性的重要结果。【“标准分析”是基于严格的极限理论。]
18世纪初，一场关于微积分的争论很激烈。话可以从牛顿时代说起。试求y=x2的导数。先取无穷小的⊿x，再取⊿y=(x+⊿x)2-x2=2x⊿x+⊿x2，那就是⊿ y/⊿ x = 2x+⊿ x .又因为⊿x是一个可以忽略的无穷小的量，那就是y/=2x。无穷小的⊿x在这里不是0(可以被⊿x整除)，而是等于0(最后忽略，⊿x消失)。这个方法看起来有点像魔术。马克思称对⊿x的忽略为“暴力镇压”，而大主教贝克勒称之为“离去的幽灵”或“离去的幽灵”。这种把无穷小神秘化真的不太好。“来得快去得也快”完全是鬼神一套。但是，无论怎么攻击，它的操作结果总是对的。伟大的数学家欧拉就曾用这种松懈的微积分取得过辉煌的成就。渐渐的人们不再有异议。
19世纪，法国数学家柯西意识到正确的结论并不意味着系统的完整，于是着手使“无穷小分析”变得严格。这就是著名的表达式ε-N和ε-δ，直到65438+70年代魏尔斯特拉斯才完成。这种用静止运动来表达极限过程的描述，去掉了神秘的外衣:所谓无穷小，只是一个极限为0的变量。它不是“一个数”，而是一个变化的过程，即一个以任意小误差不断逼近常数0的变量。它的表示完全是算术的，ε，δ等之间的关系。是明确无误的。但是，“无穷小”不是一个数，不能直接除尽，也不能忽略。鲜活的运算淹没在表格的海洋里，人们抱怨微积分越来越难学。工程师无视无穷小的批评，依然遵循牛顿-欧拉时代的方便做法，把“无穷小”握在手中，拒绝扔掉。但是，“无穷小”终究不能留在神坛上。从20世纪开始，几乎销声匿迹，偶尔提起也只是习惯性的名词介绍。
事情在1960的秋天有了转机。亚伯拉罕·罗宾逊(1918 ~ 1974，德裔犹太人，1962年赴美)在普林斯顿大学的一份报告中指出，现代数理逻辑的概念和方法可以是“无穷小”和“无限”。1961年，Robinson在荷兰阿姆斯特丹的《皇家科学院学报》上发表了一篇题为《非标准分析》的文章，预示着这一数学新分支的诞生。
在标准分析中，所研究的有理数和无理数的集合称为实数集。实数集与一条直线上的点一一对应，实数集是连续的。在非标准分析中，Robinson的基本思想是:既然无穷小不是一个“数”，即它在实数集合中没有位置，是否可以对实数集合进行扩充，使之成为一个新的超实数集合，在超实数集合中实现微积分时，可以保持牛顿-欧拉时代的直观性和简单性？罗宾逊用数理逻辑中的模型论方法做到了这一点。在超实数集中，每一个常见的实数都是一个标准数，它的周围有很多“无穷小”(非标准实数)，就像电子围绕着原子核一样。超实数集合中不存在阿基米德性质，即选择整数α和β，不一定总能找到自然数n，以至于nα > β，因为无穷小是大于0的非标准实数，其任意整数倍仍然是无穷小，不能大于正标准数β。【超实数集合中的元素一定是超实数！]
从宏观上看，超实数集的数轴和实数集的数轴是一样的。但从微观的角度来看并不一样。超实数轴上的每一点都有很多非标准实数。这些非标准实数彼此相差一个无穷小量，形成一个具有内部结构的点，称为“单子”，每个单子只有一个标准实数。从标准实数上看，点是连续的，从超实数轴上看，点是连续性和不连续性的对立统一。
从它的物理意义上来说，就像一道光，从宏观上看是连续的，从微观上看不仅是不连续的，而且是不均匀的。量子理论证明光具有涨落和粒子二象性，说明光是连续性和不连续性的对立统一。
非标准分析为我们打开了一个新的世界——“点”的世界。任何一点都是一个“世界”；任何世界都是一个“点”，就像外面有天，里面也有一些点。在太阳系中，地球是一个“点”，是有结构的，也是可分的，同样的分子也可以作为一个“点”，是有结构的，也是可分的。从数学上讲，从更小的层面上讲，任何一个“点”都可以建立坐标系，因为它是一个“世界”，从更大的层面上讲，任何一个“世界”都可以只是坐标系中的一个点。非标准分析接受了“点”的可分性的辩证法。
这种数理逻辑的方法相当复杂，理解起来比理解微积分的概念要困难得多。但是，无穷小又回到了数字神坛，成为逻辑上站得住脚的数学中的一员。这就是非标准分析带给我们的“革命性”信息，是一件令人高兴的事情。从哲学上讲，它也有自己的意义。否定之否定，微积分的基础有了新的发展，真的是“又一个前途光明的村庄！”“非标准分析”是Robinson用无穷小重新描述微积分而建立的。]
1965年4月，罗宾逊写了一本书《非标准分析》，广为流传。很多数学家支持这一点，也有很多人持怀疑态度。1973年，鲁滨逊在普林斯顿高等研究院遇到了本世纪最著名的数学家——著名的哥德尔。哥德尔做出了这样的评价:
“非标准分析不仅可以简化初等定理的证明，还可以简化困难结论的证明。比如紧算子有“不变子空间”的定理，就可以大大简化。.....我们有理由相信，无论从哪个方面来看，非标准分析都将成为未来的数学分析。.....在下一个世纪，我们将考虑数学史上的一个重要事件，这就是为什么在微积分发明300年后才发展出第一个严格的无穷小理论。”
哥德尔的评价使得非标准分析更加重要。非标准群论、非标准泛函分析、非标准拓扑相继问世。凯斯勒写了一本非标准分析的微积分教科书。试教后，据说已经接受良好，准备扩大实验。然而，最近越来越多的人对此持怀疑态度。理由是“所有非标准分析可以得到的结果，都可以用原来的标准方法得到。既然没什么新东西，又这么难懂，为什么还要学？”甚至有人认为非标准分析只是数理逻辑学家在“做梦”和“异想天开”，实在没有必要。至于非标准分析能否成为“未来世纪的数学分析”，恐怕还要经过实践和历史的检验。人们接受一个新事物需要一个过程，尤其是一句新的话，一个新的装饰，需要更多的时间。人们使用非标准分析几乎和人们说另一种外语一样困难。哥德尔的预言正确与否取决于未来！但是，鲁滨逊对无穷小再生的贡献不会被抹去，他一定会在数学史上占有一席之地。