功能的发展？

17世纪的伽利略(意大利，1564-1642)，在他的《两种新科学》一书中，几乎都包含了函数或变量关系的概念，用文字和比例的语言表达函数之间的关系。笛卡尔(法国，1596-1650)在他的解析几何1673左右注意到了一个变量对另一个变量的依赖性。但由于他当时没有意识到函数概念需要细化，所以直到17世纪后期牛顿和莱布尼茨建立微积分之前，没有人给函数下过定义。

1673年，莱布尼茨首次用“函数”来表示“权力”。后来，他用这个词来表示曲线上各点的几何量，如横坐标、纵坐标、切线长度等。同时，牛顿在微积分的讨论中用“流”来表达变量之间的关系。

2.18世纪函数概念——代数概念下的函数。

约翰？6?1伯努利·约翰(瑞士，1667-1748)在莱布尼茨函数概念的基础上定义了函数的概念:“由任何变量和任何形式的常数组成的量。”他的意思是，任何由变量X和常数组成的公式都称为X的函数，他强调函数要用公式来表示。

1755，欧拉(L. Euler，瑞士，1707-1783)将函数定义为“如果某些变量以某种方式依赖于其他变量，即当后者变量发生变化时，前者变量也发生变化，我们称前者变量为后者变量的函数。”

欧拉(L. Euler，瑞士，1707-1783)给出了一个定义:“变量的函数是由这个变量和一些数或常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰？6?伯努利在1中给出的函数定义称为解析函数，并进一步分为代数函数和超越函数，还考虑了“任意函数”。不难看出，欧拉对函数的定义比约翰好？6?1伯努利的定义更具有普适性，具有更广泛的意义。

3.19世纪的函数概念——对应关系下的函数。

1821年，柯西(法国，1789-1857)从变量的定义给出了一个定义:“某些变量之间有一定的关系。当一个变量的值给定时，其他变量的值可以相应地确定，那么初始变量称为自变量。柯西的定义中首次出现了自变量一词，同时指出函数不需要解析表达式。但他仍然认为函数关系可以用多个解析表达式来表示，这是很大的局限性。

1822年，傅立叶(法国，1768—1830)发现有些函数也已经用曲线表示，或者可以用一个公式表示，也可以用多个公式表示，从而结束了函数概念是否只用一个公式表示的争论，把对函数的认识推上了一个新的台阶。

在1837中，狄利克雷(德国，1805-1859)突破了这个限制，认为如何建立X和Y的关系是无关紧要的。他拓宽了函数的概念，指出:“对于X在一定区间内的每一个确定值，Y都有一个或多个确定值。这个定义避免了函数定义中对依赖性的描述，以一种明确的方式被所有数学家所接受。这就是人们常说的经典函数定义。

康托尔(德国，1845-1918)创立的集合论在数学中发挥重要作用后，维布伦(美国，维布伦，1880-1960)用“集合”和“对应”。

4.现代函数概念-集合论下的函数。

F. Hausdorff在1914中用集合论大纲中“序偶”这一模糊概念定义了函数，避免了“变量”和“对应”这两个模糊概念。在1921中，Kuratowski用集合的概念定义了“有序偶”，使得Hausdorff的定义非常严谨。

在1930中，新现代函数被定义为“若总有一个由集合N确定的元素Y对应于集合M的任意元素X，则称一个函数定义在集合M上，记为y=f(x)。元素x称为自变量，元素y称为因变量。”

术语函数、映射、对应和变换通常具有相同的含义。

但函数只表示数与数之间的对应，映射也可以表示点与点之间、图与图之间的对应。可以说映射中包含了函数。当然，贴图只是其中的一部分。【编辑本段】幂函数的一般形式是y = x a。

如果A取一个非零有理数就很好理解了，但是如果A取一个无理数就不太好理解了。在我们的课程中，不需要掌握如何理解指数无理数的问题，因为这涉及到非常高深的实数连续统的知识。所以我们只能接受它作为一个已知的事实。

对于一个非零有理数的值，有必要在几种情况下讨论它们各自的特征:

首先我们知道，如果a=p/q，q和p都是整数，那么x (p/q) = q的根(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是r，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n为负整数时，设a=-k，则x = 1/(x k)，显然x≠0，函数的定义域为(-∞，0)∩(0，+∞)。所以可以看出，x的局限性来自两点。首先，它可以用作分母，但不能用作分母。

排除0和负数两种可能，即对于x & gt0，那么a可以是任意实数；

0的可能性被排除，即对于x

排除了为负的可能性，即对于所有x大于等于0的实数，a不能为负。

综上所述，我们可以得出，当a为不同值时，幂函数定义域的不同情况如下:

若a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；

如果a是负数，那么X一定不是0，但是函数的定义域也必须根据Q的奇偶性来确定，即如果Q同时是偶数，那么X不能小于0，那么函数的定义域就是所有大于0的实数；如果q同时是奇数，则函数的定义域是所有不等于0的实数。

当x大于0时，函数的范围总是大于0的实数。

当x小于0时，仅当q为奇数且函数的值域为非零实数时。

只有当a为正数时，0才会进入函数的取值范围。

由于x大于0，对a的任何值都有意义，所以下面给出幂函数在第一象限的各自情况。

你可以看到:

(1)所有图都通过(1，1)。

(2)当a大于0时，幂函数单调递增，而当a小于0时，幂函数单调递减。

(3)当a大于1时，幂函数图形是凹的；当a小于1且大于0时，幂函数图是凸的。

(4)当A小于0时，A越小，图形的倾斜度越大。

(5)a大于0，函数通过(0，0)；a小于0，函数只有(0，0)点。

(6)显然幂函数是无界的。【编辑本段】设高斯函数为x∈R，用[x]或int(x)表示不超过x的最大整数，用非负纯小数表示x，则y= [x]称为高斯函数，也叫整数函数。

任何实数都可以写成一个整数和一个非负纯小数的和，即x = [x]+(0 ≤

复数的概念起源于求方程的根，在求二次和三次代数方程的根时，出现了负数的平方根。很长一段时间，人们无法理解这种数字。然而，随着数学的发展，这类数字的重要性日益显现。复数的一般形式是:a+bi，其中I是虚数单位。

以复数为自变量的函数称为复变函数，相关理论为复变函数论。解析函数是复变函数中解析函数的一种。复变函数论主要研究复数域的解析函数，所以通常称为解析函数论。

复变函数理论发展简介

复变函数理论产生于18世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数积分导出的两个方程。在他之前，法国数学家达朗贝尔已经在他关于流体力学的论文中得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，称之为“达朗贝尔-欧拉方程”。在19世纪，柯西和黎曼研究流体力学时，对上述两个方程进行了更详细的研究，所以它们也被称为柯西-黎曼条件。

复变函数论的全面发展是在19世纪，正如微积分的直接扩展统治了18世纪的数学一样，复变函数的新分支也统治了19世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是数学中最丰富的分支，被称为本世纪的数学享受。有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。

欧拉和达朗贝尔为复变函数理论的创立做了最早的工作，法国的拉普拉斯后来也研究了复变函数的积分。他们都是创立这门学科的先驱。

后来德国数学家柯西和黎曼求和，为这门学科的发展做了大量的基础工作。20世纪初，复变函数理论有了很大的发展。威尔斯特拉斯、瑞典数学家莱弗勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等的学生。做了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。

复变函数理论涉及的应用范围很广，许多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学中有很多不同的稳定平面场。所谓场就是一个区域，每个点对应一个物理量，它们的计算用复变函数求解。

比如俄罗斯的鲁科夫斯基在设计飞机时就用复变函数理论解决了飞机机翼的结构问题，他还在用复变函数理论解决流体力学和航空力学问题方面做出了贡献。

复变函数理论不仅在其他学科，而且在数学的许多分支中都有广泛的应用。它已深入涉及微分方程、积分方程、概率论和数论，并对它们的发展产生了重大影响。

复变函数论的内容

复变函数论主要包括单值解析函数论、黎曼曲面论、几何函数论、留数论、广义解析函数等。

如果函数在其变量取某一值时有唯一的定值，那么该函数的解称为单值解析函数，多项式就是这样的函数。

复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层放在一起组成的曲面称为黎曼曲面。利用这个曲面，单值分支和多值函数分支的概念可以用几何直观地表达和解释。对于一个多值函数，如果它的黎曼曲面可以作成，那么这个函数就成了黎曼曲面上的单值函数。

黎曼曲面理论是复变函数域和几何学之间的桥梁，它使我们能够把相对深奥的函数的解析性质与几何学联系起来。最近关于黎曼曲面的研究对数学的另一个分支——拓扑学影响很大，逐渐倾向于讨论它的拓扑性质。

在复变函数论中，用几何方法解释和解决问题的内容一般称为几何函数论，复变函数可以通过* * *形映射理论为其性质提供几何解释。导数处处不为零的解析函数实现的像都是* * *形像，也叫保角变换。* * *图像已广泛应用于流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等。

留数理论是复变函数论中的一个重要理论。余数也叫残数，定义比较复杂。用留数理论计算复变函数的积分比用线积分更方便。实变函数定积分的计算可以转化为复变函数沿闭环曲线的积分，然后利用留数基本定理转化为被积函数在闭环曲线内部孤立奇点上的留数的计算。当奇点为极点时，计算更简洁。

对单值解析函数的一些条件进行适当的修改和补充，以适应实际研究工作的需要。这种变化的解析函数称为广义解析函数。用广义解析函数表示的几何图形的变化称为准保角变换。解析函数的一些基本性质稍加改变也可以应用于广义解析函数。

广义解析函数的应用非常广泛，不仅在流体力学的研究中，而且在薄壳理论等固体力学部门也有应用。因此，这一领域的理论近年来发展非常迅速。

自柯西以来，复变函数论已有170多年的历史。它以完善的理论和精湛的技巧成为数学的重要组成部分。它促进了一些学科的发展，在实际问题中也经常被用作有力的工具。其基本内容已成为许多理工科专业的必修课。目前复变函数理论还有很多课题需要研究，所以它还会继续发展，得到更多的应用。

大写字符类型将小写英文字母转换为大写字符。

Downcase字符类型将大写英文字母改为小写字符【编辑此段】阶梯函数是梯形中具有无限跳跃不连续性的函数。【编辑本段】反比例函数表达式为y = k/x (k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数。

反比例函数的其他形式:y = k/x = k 1/x = kx-1。

反比例函数的特点:y = k/x→ xy = K。

自变量x的取值范围是所有不等于0的实数。

反比例函数图像属性:

反比例函数的图像是双曲线。

反比例函数关于原点中心对称，关于坐标轴角度的平分线对称。另外，从反比例函数的解析式可以得出，反比例函数图像上的任意一点垂直于两个坐标轴，由该点、两个垂足和原点围成的矩形区域是一个常数值，这个常数值就是∣k∣，即k的绝对值

如图，上面给出了k为正值和负值(2和-2)时的函数图像。

当k > 0时，反比例函数图像经过一个或三个象限，因为在同一个反比例函数图像上，y随着X的增大而减小，所以也叫减法函数。

当k < 0时，反比例函数图像经过两个或四个象限，因为在同一个反比例函数图像上，Y随着X的增大而增大，所以也叫增函数。

如果不在同一个象限，则相反。

因为反比例函数的自变量和因变量不能为零，所以图像只能无限逼近坐标轴，不能与坐标轴相交。

知识点:

1.反比例函数图像上的任意一点都是两条坐标轴的垂直线段，这两条垂直线段和坐标轴围成的矩形的面积为| k |。

2.对于双曲线y = k/x，如果在分母上加上或减去任意一个实数m(即y = k/x (x m) m为常数)，就相当于将双曲线图像向左或向右平移m个单位。(加数时向左平移，减数时向右平移)【编辑此段】编程中的函数在很多编程语言中，可以封装一段经常需要使用的代码，需要使用时直接调用。这是程序中的函数。例如，在C语言中:

int max(int x，int y)

{

return(x & gt；y？x:y；);

}

这是一个比较两个数大小的函数。该函数有参数和返回值。C++编程中的函数可以分为两类:带参数的函数和不带参数的函数。这两个参数的声明和定义也不同。

带有(一个)参数的函数声明:

类型名标识符+函数名+(类型标识符+参数)

{

}

不带参数的函数声明:

Void+函数名()

{

}

花括号内是函数体。

带参数的函数有返回值，不带参数的函数没有返回值。

C++中的函数调用:函数必须在被调用之前声明。调用格式:函数名(参数)

调用时函数名后括号中的参数个数必须与声明函数时括号中的形参个数相同。

带有返回值的函数可以被计算或赋值为正确的值。

# include & ltiostream & gt

使用命名空间std

int f1(int x，inty)

{ int z；& ltbr & gt返回x+y；& ltbr & gt}

void main()

{ cout & lt& ltf1(50，660)& lt；& ltendl & ltbr & gt}

c语言中的一些函数

主要(主要功能)

Max(查找最大数的功能)

Scanf(输入功能)

输出函数