请写一个发现教学模式的案例，并进行分析。

就其思想渊源而言，发现教学法可以追溯到很久以前。早在19世纪中叶，德国著名教育家陀思妥耶夫斯基就曾提出:“科学知识不应该教给学生，而应该引导学生去发现它们，并自主地掌握它们”，“一个差的老师给出真理，一个好的老师教人去发现真理”。后来，英国著名教育家斯潘塞也指出，“教育应尽可能鼓励个人发展的过程，引导学生自己去探索和推断，尽可能少地告诉他们，而尽可能多地引导他们去发现”。这些观点无疑为发现教学法奠定了思想基础。

发现教学法作为一种严格意义上的教学方法，最早是由美国著名心理学家布鲁纳在20世纪50年代倡导的。他认为:“在提出一门学科的基本结构时，可以保留一些精彩的部分，引导学生自己去发现”；“学生可以通过发现掌握学科的基本结构，易于理解和记忆，便于知识的迁移和能力的发展”；“发现不仅限于寻求人类尚未知晓的事物，确切地说，它包括用自己的头脑获取知识的一切方法”。由于他的倡导，发现教学法引起了教育工作者的极大关注和重视。

二、发现教学法的理论基础

发现教学法的主要理论基础是认知建构主义学派的建构原理和顿悟理论。

发现作为一种教学方法，无论是在教学过程中还是在教学目标中，都更加关注学生的学习。从这个意义上说，“发现学习”的特点是学生的自主探索和合作学习。在学习过程中，学生可以在原有认知的基础上，积极有效地参与自己的元认知、动机和行为。

以fravel为代表的认知建构主义学派认为，主动建构学习实际上是元认知监控学习，是学生根据自己的学习能力和学习任务主动调整学习策略和努力的过程。因此，发现法作为一种学习方法，其本质是学生在原有认知基础上的主动建构。

认知建构主义学派也认为，学习是一个认知过程，不是盲目的试错，而是突然的“顿悟”。人们从实践中认识到，试错和顿悟是学习中两个相辅相成的过程，往往交替进行。一般来说，数学学习中掌握数学技能和尝试解决习题往往以顿悟的形式出现，而理解数学概念和创造性地探索问题往往表现为顿悟。因此，

三，发现教学法的现代解读

步入21世纪，我们面临着一个飞速发展的信息时代。为了适应这种快速变化的形势，人们必须具备自我学习和终身学习的能力。因此，基础教育的一项重要任务就是帮助学生学会学习，培养他们的探索、发现和创新能力。

高中数学课程标准指出:“在教学中，应当鼓励学生积极参与教学活动，包括思维和行为的参与。教师不仅要教学和引导，还要与学生自主探索和合作。教师要创设适当的问题情境，鼓励学生发现数学规律和解决问题的方法，让他们体验知识形成的过程。”这就要求我们广大数学教师转变教学观念，更新教学方法。精心设计每节课的教案，为学生积极探索问题、获取知识创造轻松和谐的学习氛围和环境。发现教学法的理念正好反映了这种需求。

在传统“接受教学法”的基础上，融入“发现教学法”，在接受的过程中多一些启发，在发现的过程中多一些参与，两种教学形式相辅相成，达到和谐统一，将成为新一轮课程改革的热点。

四、发现教学法的教学环节

利用发现教学法实施数学教学通常可以按以下步骤操作:

现推出几何级数前N项及公式的教学案例如下:

1.创建问题场景

根据教学内容和学生的学习要求，通过引用与新知识相关的实例、从旧知识中找出与新知识相似的数学对象、准备与新知识相关的教具和资料等方式，精心创设问题情境，引导学生对数学知识的探究活动的关注和兴趣。

我是这样设计这节课的问题情景的:SARS病毒给我们带来了无限的恐慌。现在假设第一天有一个SARS患者，第二天他会停止感染其他人，而另外两个人第三天会感染两个人，然后他们会停止感染其他人，以此类推33天* * *有多少人感染了SARS病毒(不考虑死亡人数)。

(本题的引入是基于以下三点考虑:(1)利用学生的求知欲，以一个真实事件为切入点，便于激发学生学习本课的兴趣和热情。(2)事件内容与本节课教学内容的主题和重点密切相关。(3)有利于知识的迁移，使学生清楚地了解知识的实际应用。)

2.组织学生活动

学生活动包括观察、操作、归纳、猜测、验证、推理、建模和提出方法等个体活动，以及教师指导下的讨论、合作、交流和互动或师生互动等小组活动，目的是让学生体验数学知识发生和发展的过程。

在解决上述问题时，可以引导学生将这个问题与教材讲几何级数的通项时的细胞分裂问题进行比较，找出不同之处:不同之处是细胞分裂成两个后本身消失，但在这个问题中，SARS病人感染了另外两个后并没有消失，所以最后计算人数时要加上这部分人，所以1日的人数是1，第二日是2，第三日是1

3.引导探索和发现

在独立思考、自主探究的基础上，引导学生发现数学概念、数学定理、数学公式等数学知识，找到论证数学定理、推导数学公式、解决数学问题的方法，让学生有更多的参与机会，让他们像数学家一样体验数学过程，感受成功的体验。当寻求和平时，作者是这样做的:

老师:同学们，要想知道自己猜测的数据是否正确，或者谁的误差更小，就必须给出这个公式的正确求解过程。让我们先仔细看看这个公式。很明显，1，2，…，是* *中33项的几何级数，所以我们现在要做的就是求几何级数中前33项的和。一般来说，2。除了课本上的方法，你还有其他方法证明吗？

给足够的时间鼓励学生自由思考问题，积极解决问题)

生2:我觉得公式应该讨论q=1和分类。

S3:我认为几何级数中的项数是应该注意的。

老师:很好，确实这两个方面是学生过去容易出错的地方，所以以后使用公式时要注意对Q和级数项数的讨论。课本上的证明方法叫错位减法。(老师演示)(求和的这种思想在解决一些求和问题时经常用到，所以学生要掌握)除了课本上的那种证明方法，还有其他证明方法吗？

生4:通过几何级数获得童翔:

将上述n个方程的等号两边分别相加得到，，。

当，；当，。

生5:(偏岩)用几何级数定义:，然后，利用等比定理，得到or，or (q = 1)。

生6:(董事会表现)，然后

所以有，就是，或者(q=1)。

4.构建数学理论

数学理论包括概念定义、定理描述、模型描述、算法程序和解决数学问题中的思维方法。学生经过探究活动，经历过程，感受意义，形成表象后，教师要及时帮助整理、补充、完善，使之规范化，纳入学生的认知体系，形成完整的数学理论体系，为掌握应用打下基础。

构建数学理论时，课堂记录如下:

老师:学生想出三种不同的方法不容易。我们仔细研究一下以上三种方法:生4。根据几何级数的定义，用叠加法推导出几何级数{a n}的前n项和公式；在等比数列的基本概念和等比数列的定义的基础上，盛5利用等比定理导出了公式。盛6，当然还有我们教材中的错误减法也是一个很重要的方法，在以后的大量习题中都会出现。

由此得到求几何级数的前因和的公式。

请考虑一下。有了这个公式，求几何级数的前几项之和应该怎么做？

众生:直接用公式。

老师:使用公式要注意什么？启发学生得出结论，我们需要根据公比是否为1来讨论。

师:这个公式除了求几何级数的前因之和，还有其他用途吗？

(仔细观察公式，引导学生发现知三求二)

5.尝试使用数学

数学的应用主要是指应用通过探究发现的数学理论解决问题，包括辨别、解释、解决简单问题和解决复杂问题。教师要精心组织一系列的问题小组，引导学生尝试数学应用，培养学生的应用意识，并对学生学习活动的效果进行测试和反馈。

课堂实录如下:

老师:我们掌握了等比例数列的求和公式。让我们回到原问题，让学生精确计算33天后的SARS患者。

众生:

老师:算算最后的结果。

众生:8589934591。

老师:就是将近85亿人感染了非典病毒，但是我们知道世界人口只有60多亿。这个数据也可以解释非典的恐怖。幸运的是，在党和政府的领导下，我们战胜了非典，这也表明了我们党和我们社会主义国家的优越性。

总结、回顾和反思

总结、回顾、反思可以由学生先叙述，教师补充、提炼。目的是:一方面让学生回顾本节课的活动过程、重点和难点，以及学习活动中取得的成绩和存在的问题；另一方面是对探索过程的再认识，是对研究数学问题的思维方法的升华，是对数学思维的反思，为学生今后进一步学习、研究和解决问题提供了经验和教训。

笔者要求学生对这节课的教学内容进行回顾和反思:

(1)几何级数的前n项及公式；

(2)公式的推导方法；

(3)公式的应用。

追问:你从这堂课上学到了什么？这个问题留给大家课后去思考。

通过师生的反思，充分发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也有利于培养归纳概括能力，从而进一步实现认知目标和素质目标。

在实际教学中，上述六个环节不必面面俱到，可以根据教学内容和教学环境灵活选择。关键是要关注学生学习方式的变化，把学生的探索发现活动放在应有的位置。

总之，发现式课堂教学能否取得实效，关键在于学生是否参与、如何参与以及参与的程度。同时，只有学生积极参与教学，才能改变课堂教学机械枯燥的局面，让课堂充满活力。所谓学生主动参与，就是给学生自主探索的权利，不用老师定框框，先捆住学生的手脚。要求学生按照老师事先设计好的一套来操作。每一步探究都要求学生先试，也就是把学生推到主动位置，让学生自己学习。教学过程主要由学生自己完成，这样发现式课堂教学才能进入一个理想的境界。