傅立叶分析的发展现状
傅立叶级数，尤其是连续函数的傅立叶级数，是否一定处处收敛？1876年，P . d . g . Dubois-Raymond首先发现存在一个连续函数，其傅里叶级数在某些点发散。后来证明了连续函数的傅立叶级数可以在无穷点集上处处发散。这一否定结果的发现提醒人们对傅里叶级数的收敛性要谨慎。进一步的研究使G.H. Hardy和F. (F.) Rees建立了单位圆上H空间的理论。他们研究了单位圆内的有界解析函数F(z ),其中0
用傅里叶级数描述函数类是傅里叶分析中的一个重要课题。著名的Pasheval公式和Reese-Fisher定理反映了函数类l(0，2π)的特征。若P≠2，则有如下豪斯多夫-杨定理。设1 < P≤2,p┡=p/(p-1)，若∈l(0，2π)和Cn为复傅立叶系数，则
另一方面，如果{сn }(-∞< n & lt；；∞)是满足的复序列，那么{сn}一定是函数in的傅立叶系数，并且。哈代和利特伍德的许多其他贡献也应该在20世纪50年代以前的重要作品中提及。特别是在20世纪30年代，他们研究了具有极大函数的傅立叶级数，取得了深刻的成果。极大函数是一个算子，它的定义是极大函数M ()(x)大于函数本身。用它来控制傅立叶分析中的某些算子，可以达到估计其他算子的目的。
20世纪50年代以前，傅立叶分析的研究领域基本局限于一维的具体空间，20世纪50年代以后，研究逐渐扩展到多维的抽象空间。积分理论名称:卡尔德龙-藏蒙奇异积分理论
由于偏微分方程等多个数学分支的发展，20世纪50年代出现了calderon-Zangger奇异积分理论，这标志着调和分析进入了一个新的历史时期。例如，当∈l(Rn)时，泊松方程δ u =的基本解u(x)的二阶导函数在一定条件下(如Lipα连续性)可以表示为如下奇异积分。
сn是常数，只与维数n有关，积分(8)一般发散为勒贝格积分；注意到ω j (y)在r的单位球面s上的积分为0，可以证明积分ϋ在柯西主值意义下存在，且作为x的函数连续，所以u(x)是泊松方程的解。
Calderon和Zangmeng研究了一类相当广泛的奇异积分算子⑼的性质，其中ω (y)是具有一定光滑性的零级齐次函数，并满足条件。他们证明了该积分算子具有L有界性(p & gt1);利用这些性质，我们可以得到某个微分方程解的“先验估计”。
H-空间理论的现代发展20世纪60年代，E.M. Stein和G. Weiss在上半空间中引入了H-空间，它是n=1的推广。当n=1时，h(p & gt；0)空间R=(-∞，∞)中函数的边值函数在L范数下几乎处处存在。Stein和Weiss定义的多维空间显然是一维H (rì)空间的推广。人们自然要问，经典h(R)空间中最基本的性质，比如边值函数的存在性，在多维空间中是否还保留着？Stein和Weiss首先发现p & gt(n-1)/n，答案是肯定的；例如，他们证明了如果F∈，p & gt(n-1)/n，那么它几乎无处不在，并且在L范数意义下存在。在1964中，calderon和Zangemont用高阶梯度的概念把H空间p & gt(n-1)/n被放宽到p & gt0，但是他们的方法比较复杂。随着指数P的不同，当时H空间定义的一致性并不明确。
在20世纪70年代早期，H空间的现代理论经历了显著的发展。在1971中，D.L. Berkhold，R.F. Gundy和M.L .银色啤酒杯乐队首先证明了F(x+iy)的实部的角极大函数是一维情形的充要条件，
后来，c .费福曼和斯坦将上述特征推广到多维，并进一步指出当0
不叫傅里叶级数(1)，叫傅里叶变换。
傅里叶级数(1)和傅里叶积分(10)的具体形式不同，但都反映了一个重要的事实，就是都把函数分解成许多分量e(-∞< z & lt；；∞)或e的和(n=0，1，2，…)。比如对于傅里叶级数(1)，(x)分解为сne(n=0，1，2，…)的和；傅立叶积分⑽表明(x)可以分解成无穷个φ(z)e(-∞< z & lt；；∞)的“和”。系数сn(n=0，1，2，…)和с(z)(-∞< z & lt；；∞)，有相似之处。事实上，它们都可以用以下形式表示:
。⑾
当它是周期为2π的周期函数时，g = (0，2π)，
，测度是G=[0，2π]上的勒贝格测度，此时也就是傅立叶系数(4)；X (t) = (-∞)
将一个函数分解成许多“特殊”函数之和的想法{e}激励人们考虑更深刻的问题。其实从群的角度来看，无论是周期函数还是非周期函数，它们的定义域都是一个拓扑群G，也就是说G有一个代数运算叫做群运算，与之协调的极限运算叫做G拓扑。傅里叶级数或傅里叶积分的任务是研究定义在G上的函数(x)可以分解为一个群上的许多“特殊”函数(如e或e)之和的可能性，并通过傅里叶系数或傅里叶变换研究其自身的性质。对于一般拓扑群G，什么样的“特殊”函数等价于{e}或{e}?将这个“特殊”函数x(t)代入公式⑾，必须确定g上的测度μ才能得到傅立叶变换，这是建立群上的傅立叶分析理论必须解决的两个基本问题。对于线性群R=(-∞，∞)，其“特殊”函数X(t)= E(-∞< X & lt；；∞)的特殊性在于它们满足以下三个条件:①x(t+s)=x(t)x(s)，②|x(t)|=1，③x(t)是t的连续函数在群表示论的术语中，条件①、②、③的组合正好说明x(t)是群R的酉表示，可以进一步证明满足①、②、③的所有不可约酉表示都是{ e }(-∞< 1)；∞)。对于圆群T，所有的“特殊”函数xn(t)=e(n=0，1，2，...)除了① ~ ③之外还满足条件④xn(2π)=1。从群表示论的观点来看，条件① ~ ④的组合表明T的“特殊”函数就是群T的酉表示；此外，还可以证明T的所有不可约酉表示都恰好是{e|n=0，1，2，…}。这样，在一般抽象群G上寻找合适的“特殊”函数的问题就转化为研究和寻找群G上所有不可约酉表示的问题，对于紧群或局部紧交换群，群表示理论的成果相当丰富，对相应“特殊”函数的研究也比较成熟。对于既不交换也不紧的拓扑群，寻找相应的“特殊”函数仍然是一个难题。
研究拓扑群上的测度是建立群上傅立叶分析的另一个基础课题，因为群上的积分⑾离不开相应的测度。以可加局部紧拓扑群R=(-∞，∞)为例，经典勒贝格测度的主要特征是:①R中任意紧集的勒贝格测度必是有限的；②R中任意可测集的勒贝格测度相对于右(或左)平移不变。人们很自然地会问，一般拓扑群中存在条件为①和②的测度(现在称为Hal测度)吗？如果存在，是唯一的吗？从1930开始，这个问题就被a .哈尔、a .魏和我.м讨论过。盖尔范德等人的努力已经证明，在局部紧拓扑群上，满足条件①和②的Hal测度一定存在，而且它们只相差几倍。例如，所有以乘法运算为一个群的正实数构成一个拓扑群R，它的拓扑是欧氏空间的拓扑，那么测度dμ=xdx就是R上的Hal测度.这是因为，对于任何一个，
这表明测度dμ=xdx相对于位移是不变的。如果进一步得到群R的所有不可约酉表示，则可以证明群R的所有不可约酉表示都是{x |-∞的
上式中的表达式“t”正是经典的所谓梅林变换M (x)，是由R.H .梅林在19末引入的，用来研究狄利克雷级数的相关性质。这个特例说明，对群的傅立叶分析不仅把梅林变换统一到了傅立叶变换中，更重要的是群论的引入使得隐藏在一些现象背后的内在联系更加清晰深刻。A.Zygmund，三角级数，第2版。剑桥大学出版社，剑桥，1959。
E.M.Stein，奇异积分和函数的可微性，普林斯顿大学出版社，普林斯顿，1970。
G.M.Stein和G.Weiss,《欧几里得空间的傅立叶分析导论》,普林斯顿大学出版社，普林斯顿，1971。
E.Hewitt和K.A.Ross，抽象harmonicanalysvol . 1 ~ 2，施普林格出版社。柏林，1963.1970。