几何学的形成历史

实验几何的形成和发展

几何学起源于对天空中星星形状和排列的观察，起源于测量土地、测量体积、制作器皿、绘制图形等实践活动的需要。人们在观察、实践和实验的基础上积累了丰富的几何经验，形成了许多粗糙的概念，反映了一些经验事实之间的关系，形成了实验几何。

中国古代、古埃及、古印度、巴比伦所研究的几何，基本上都是实验几何的内容。

比如勾股定理，简单的测量知识，中国古代很早就发现了。《墨经》有“一(圆)，其一等长”和“平(平行)，其一等高”。古印度人认为“圆的面积等于矩形的面积，矩形的底等于半个圆，矩形的高度高于圆的半径”。

2.理论几何的形成和发展。

随着古埃及和希腊的贸易和文化交流，埃及的几何知识逐渐传入古希腊。

古希腊的许多数学家，如泰勒斯、毕达哥拉斯、柏拉图和欧几里得，都对几何的研究做出了巨大的贡献。

尤其是柏拉图将逻辑学的思维方法引入几何学，建立了细致的定义和清晰的公理作为几何学的基础。然后，欧几里得在前人几何知识的基础上，按照严密的逻辑体系写成了《几何原本》十三卷，奠定了理论几何(也称归纳几何、演绎几何、公理几何、欧几里得几何等)的基础。)而成为历史上久负盛名的杰作。

虽然《几何原本》存在一些缺陷，如公理不完备，有时诉诸直觉等。，是古代数学的杰作，论证严谨，影响深远。所使用的公理化方法为数学未来的发展指明了方向，甚至成为人类文明史上的里程碑，成为全人类文化遗产中的瑰宝。

3.解析几何的产生和发展。

公元3世纪，几何学的要素出现，奠定了理论几何学的基础。

同时，人们也对圆锥曲线做了一些研究，发现了圆锥曲线的许多性质。

但此后很长一段时间，神学在封建社会占据统治地位，科学没有得到应有的重视。

直到公元15和16世纪，欧洲资本主义才开始发展。随着生产的实际需要，自然科学迅速发展起来。

法国笛卡尔发现欧几里得几何过于依赖图形，而传统代数则完全受制于公式和定律。他们认为研究圆锥曲线的传统方法只重视几何而忽视代数，极力主张把几何和代数结合起来取长补短，这是促进数学发展的新途径。

在这一思想的指导下，笛卡尔提出了平面坐标系的概念，实现了点与数对的对应，用一个两边三刀的方程表示圆锥曲线，形成了一系列全新的理论和方法，解析几何由此产生。

解析几何的出现极大地拓宽了几何学的研究内容，促进了它的进一步发展。

在18和19世纪，由于工程、力学和大地测量学的需要，进一步出现了画法几何、射影几何、仿射几何、微分几何等几何学分支。

4.现代几何学的产生和发展。

在初等几何和解析几何的发展过程中，人们不断发现《几何原本》在逻辑上的不严谨，不断丰富一些公理，特别是试图证明第五公设“一条直线与其他两条直线相交，当同侧内角之和小于两个直角时，两条直线相交于此侧”的失败，促使人们重新审视几何的逻辑基础，并在两个方面取得了突出的研究成果。

一方面，从改变几何学的公理体系出发，即用一个与欧几里得几何学第五公设相矛盾的命题代替第五公设，从而导致几何学研究对象的根本突破。

俄罗斯数学家罗巴切夫斯基将第五公设替换为“在同一平面内，两条直线在过直线外的一点时，可以与已知直线平行”，由此导出了一系列新的结论，如“三角形内角之和小于两个直角”、“不存在相似但不等的三角形”，后来被称为罗氏几何(又称双曲几何)。

德国数学家黎曼从另一个角度取代了第五公设“在同一平面内，在直线之外的任何一点都没有与已知直线平行的直线”，这也导致了一系列新的理论，如“三角形的内角之和大于两个直角”、“三角形形成的面积与球面三角形相等的公式”等等，得到了另一种不同的几何，这种几何后来被称为黎曼几何(又称椭圆几何)。

传统上，人们把罗氏几何和黎曼几何称为非欧几何。

欧几里得几何(又称抛物线几何)和罗氏几何的共同部分统称为绝对几何。

另一方面，人们在对欧几里得几何公理系统的严格分析中形成了公理化方法，而这种严格的公理系统，通常称为希尔伯特公理系统，已经由德国数学家希尔伯特在其《几何基础》中完美地建立起来。希尔伯特公理系统是完备的，即可以用纯逻辑推理的方法推导出欧几里得几何的严格体系。

但是按照这个公理体系，一步一步地推导欧几里得几何中那些熟悉的内容，是一件相当繁琐的工作。