多线性代数的历史背景

这门学科本身有许多不同的起源，可以追溯到19世纪的数学，但它被称为张量分析，或张量计算或张量场。张量在微分几何、广义相对论和应用数学的许多分支中的应用都有所发展。大约在20世纪中叶，张量的研究转向了抽象。布尔巴基学派的专著《多元线性代数》特别受欢迎。事实上，也许“多线性代数”就是由此发明的。

原因之一是它在同调代数新领域的应用。20世纪40年代代数拓扑的发展为处理张量积的纯代数方式注入了新的活力。两个空间的积同调群的计算涉及张量积；但只是在最简单的情况下，比如环面是直接计算的(见普适系数定理)。微妙的拓扑现象需要更好的概念；从技术上讲，需要定义Tor功能。这种材料是广泛组织的，包括追溯到赫尔曼格拉斯曼的思想，从微分形式理论到德拉蒙德上同调的思想，以及一些更基本的思想，如楔形积(它推广了叉积)。

布尔巴基的结论以一种相当苛刻的方式彻底否定了向量分析中的一种处理方法(四元数法，即一般意义上与李群的关系)。他们转而应用一种使用范畴论的新方法，这是从李群加工模式的角度来看的一种独立的方法。因为这导致一个更清楚的处理，他们可能没有对应的纯数学术语。严格地说，它涉及一种泛自然的方法；这似乎比范畴论更一般，同时也阐明了这两种交替方式的关系。)

实际上，他们所做的是准确地解释了“张量空间”是将多个线性问题简化为线性问题的构造。这种纯代数的挑战并不提供几何直观。

把这个问题重新表述成多线性代数项是有益的。有一个清晰明确的“最佳解”:解的极限正是你事实上所需要的。一般不需要引入任何特殊的结构、几何概念或对坐标系的依赖。在范畴论的术语中，一切都是完全自然的。