数学复数的历史
直到18世纪，数学家们才在复数方面建立了一些信心。因为，在数学推理的中间步骤中，无论在哪里使用复数，结果都被证明是正确的。特别是在1799中，高斯(1777-1855)对“代数基本定理”的证明必须依赖于对复数的认识，从而进一步巩固了复数的地位。当然，这并不意味着人们对“复数”的担忧已经完全消除。即使在1831年，迪·莫干(de Morgan，1806-1871)在他的《数学的研究与困难》一书中仍然认为:
"...已经证明这个标记毫无意义，甚至是矛盾的或可笑的。但是，通过这些符号，建立了代数中极其有用的一部分，这取决于一个必须经过经验检验的事实，即代数的一般规律可以应用于这些公式(复数)。……"
我们知道18世纪是数学史上的“英雄世纪”。人们的热情是如何发挥微积分的威力，扩大数学的疆域。没有人会担心实数系和复数系的逻辑基础。既然复数在算术上至少是直观可靠的，何必呢？
1797年，挪威人韦塞尔(C. Wessel，1745-1818)写了一篇散文《方向的解析表示》，试图用向量来表示复数。可惜这篇文章的巨大价值直到1897才被翻译成法文。瑞士人Arganda (J. Argand，1768-1822)对复数给出了略有不同的几何解释。他注意到负数是正数的延伸，是方向和大小相结合得到的。他的思路是:能不能通过增加一些新概念来扩展实数系？高斯的工作在让人们接受复数方面更有效。他不仅把a+ bi表示为复平面上的一个点(a，b)，而且阐述了复数的几何加法和乘法。他还说，如果1，-1的和不叫正、负、虚单位，而叫直、负、横单位，那么人们可能就不会对这些数字有各种阴暗神秘的印象。他说几何表象能让人真正对虚数有新的看法。他引入了“复数”这个术语来反对虚数，并用I取而代之。
爱尔兰数学家汉密尔顿(1805–1865)在阐明复数概念方面非常重要。汉密尔顿关注的是算术逻辑，并不满足于几何直观。他指出，复数a+ bi不是2+3意义上的实和，加号的使用是历史偶然，bi不能加到A上..复数a+ bi只是实数的一个有序数对(A，B)，给出了有序数对的四则运算。同时，这些运算满足结合律、汇率和分配率。在这种观点下，不仅复数在逻辑上是以实数为基础的，而且-1这个神秘的平方根也被彻底消除了。