数学的发展和人类历史的进程有什么关系？
18和19世纪之交，数学达到了丰富密集的局面。似乎数学的宝藏已经耗尽，没有太大的发展空间。然而，这只是暴风雨前的宁静。19的20世纪20年代，数学革命的浪潮终于来临，数学开始了一系列本质的变化。从此，数学进入了一个新的时期——现代数学时期。
19世纪上半叶，数学出现了两个革命性的发现——非欧几何和非交换代数。
大约在1826年，人们发现了非欧几里得几何，它不同于通常的欧几里得几何但也是正确的。这是由Robachevsky和Rier首先提出的。非欧几何的出现改变了人们认为欧几何只是理所当然存在的看法。其革命性的思想不仅为新几何铺平了道路，也是20世纪相对论产生的前奏和准备。
后来证明，非欧几何引起的思想解放对现代数学和科学具有重要意义，因为人类终于开始突破感官的局限，深入到更深层的自然。从这个意义上说，为非欧几何的建立和发展贡献了一生的罗巴切夫斯基不愧为近代科学的先驱。
1854年，黎曼普及了空间的概念，创造了更广阔的几何领域——黎曼几何。非欧几何的发现也促进了公理方法的深入讨论，研究了可以作为依据的概念和原理，分析了公理的完备性、相容性和独立性。从65438年到0899年，希尔伯特为此做出了巨大贡献。
1843年，哈密尔顿发现了一个代数——四元数代数，其中乘法交换律不成立。非交换代数的出现改变了人们的看法，即拥有一个不同于普通算术代数的代数是不可想象的。其革命性的思想打开了现代代数的大门。
另一方面，由于对一元方程求根条件的探索，引入了群的概念。从20世纪20年代到30年代，阿贝尔和伽罗瓦开创了现代代数的研究。近世代数是相对于古典代数而言的，古典代数的内容以讨论方程的解为中心。群论之后，各种代数系统(环、域、格、布尔代数、线性空间等。)都成立了。这时代数的研究对象扩展到向量、矩阵等等，逐渐转向代数系统结构本身的研究。
上述两个事件及其发展被称为几何和代数的解放。
19世纪，发生了第三个影响深远的数学事件:分析的算术化。在1874中，Wilstrass提出了一个引人注目的例子，要求人们对分析基础有更深刻的理解。他提出了一个著名的观点，叫做“分析的算术”。实数系本身首先应该是严格的，然后所有分析的概念都要从这个数系中推导出来。他和他的后继者们基本上实现了这一思想，以至于今天所有的分析都可以从一个显示实数系特征的公设集合中进行逻辑推导。
现代数学家的研究远远超出了实数系是分析基础的假设。欧几里得几何也可以通过它的解析解释而置于实数系中；如果欧几里得几何是相容的，那么几何的大多数分支都是相容的。实数系(或某部分)可以用来求解群代数的许多分支；它可以使许多代数相容性依赖于实数系统的相容性。事实上，可以说，如果实数系统是兼容的，所有现存的数学也是兼容的。
19世纪后期，由于戴德金德、康托尔和皮亚诺的工作，这些数学基础已经建立在一个更简单、更基本的自然数系统上。也就是说，他们证明了实数系统(许多种类的数学都是从这个系统中推导出来的)可以从建立自然数系统的公设集中推导出来。20世纪初，证明了自然数可以用集合论的概念来定义，所以各种数学都可以在集合论的基础上来描述。
拓扑学最开始是几何学的一个分支，但直到20世纪的第二个1/4世纪才开始普及。拓扑学可以粗略地定义为连续性的数学研究。科学家认识到，任何一组事物，无论是点的集合、数字的集合、代数实体的集合、函数的集合还是非数学对象的集合，都可以在某种意义上形成拓扑空间。拓扑学的概念和理论已经成功地应用于电磁学和物理学的研究。
20世纪，许多数学著作致力于仔细考察数学的逻辑基础和结构，进而导致公理的出现，即公设集及其性质的研究。许多数学概念发生了很大的变化和普及，集合论、现代数学、拓扑学等深厚的基础学科也得到了广泛的发展。一般(或抽象)集合论引起的一些悖论影响深远，令人费解，亟待处理。逻辑本身作为数学中以认识为前提得出结论的工具，经过了仔细的考察，从而产生了数理逻辑。逻辑和哲学的关系导致了不同的数学哲学流派的出现。
从20世纪40年代到50年代，世界科学史上发生了三件惊天动地的大事，即原子能的利用、电子计算机的发明和航天技术的兴起。此外，还出现了许多新情况，促使数学发生了剧变。这些情况是:现代科学技术研究的对象越来越超出人类感官的范围，向着高温、高压、高速、高强度、远距离、自动化方向发展。以长度单位为例，小到1尘埃(毫微微米，即10-15米)，大到1百万秒差距(325.8万光年)。这些测量和研究不能依赖感官的直接经验，而越来越依赖理论计算的指导。其次，科学实验的规模空前扩大，一个大规模的实验会消耗大量的人力物力。为了减少浪费，避免盲目性，迫切需要准确的理论延伸和设计。再次，现代科学技术趋向于定量化，科学技术的各个领域都需要数学工具。数学已经渗透到几乎所有的科学部门，从而形成了许多边缘数学学科，如生物数学、生物统计学、数学生物学、数学语言学等等。
上述情况使得数学的发展呈现出一些明显的特点，这些特点可以简单地概括为三个方面:计算机科学的形成，应用数学许多新分支的出现，纯数学的一些重大突破。
1945年第一台电子计算机诞生后，由于应用广泛，影响巨大，围绕它自然形成了一门庞大的科学。粗略地说，计算机科学是对计算机系统、软件和一些特殊应用进行探索和理论研究的科学。计算数学可以归为计算机科学，但也可以看作是一门应用数学。
计算机设计制造的大部分工作通常是计算机工程或电子工程。软件是指解决问题的程序、编程语言、编程方法等。研究软件需要用到数理逻辑、代数、数理语言学、组合论、图论、计算方法等多种数学工具。目前，电子计算机的应用有成千上万种，并且有不断增加的趋势。但只有一些特殊的应用被归为计算机科学，比如机器翻译、人工智能、机器打样、模式识别、图像处理等等。
应用数学和纯数学(或基础理论)之间从来没有严格的界限。一般来说，纯数学是数学的这一部分，暂时不考虑直接应用到其他知识领域或生产实践中。它间接地促进了相关学科的发展或在若干年后找到了它的直接应用。应用数学可以说是纯数学和科学技术之间的桥梁。
20世纪40年代以后，出现了大量新的应用数学学科，其内容、应用和种类都是前所未有的。比如博弈论、规划理论、排队论、最优化方法、运筹学、信息论、控制论、系统分析、可靠性理论等等。这些分支之间的研究范围和关系很难划清，有些可以视为概率统计的新应用或分支，因为它们使用了许多概率统计的工具，有些可以归入计算机科学等等。
40年代以后，基础理论也发展很快，出现了许多突破性的著作，解决了一些根本性的问题。在这个过程中引入了新的概念和方法，促进了整个数学的发展。比如1990年希尔伯特在国际教育家会议上提出的23个突出问题，现在已经有一部分解决了。自20世纪60年代以来，出现了一些新的数学分支，如非标准分析、模糊数学和突变理论。此外，近几十年来经典数学也取得了很大的进步，如概率论、数理统计、解析数论、微分几何、代数几何、微分方程、因子论、泛函分析、数理逻辑等等。
当代数学的研究成果都快爆炸了。在17结束之前，发表数学论文的杂志只有17家(原来自1665)；18世纪有210种；19世纪有950种。20世纪的统计数字增加得更多。本世纪初，每年仅发表1000篇数学论文；到1960，发表在《美国数学评论》上的摘要数量为7824，到1973，为20410，到1979，达到52812，呈指数增长趋势。数学的三个特点——高度抽象、应用广泛、体系严谨——更加明显。