皮亚诺的自然数理论

皮亚诺公理和自然数的逻辑体系，我们先来看一篇维基百科的文章《自然数的历史和0的刻画》:自然数是从数的个数开始的。古希腊人首先研究了它的抽象特征，其中毕达哥拉斯把它视为宇宙的基础。其他古文明对其研究也有很大贡献，尤其是印度对0的接受。早在公元前400年，巴比伦人就把零用作数字。公元200年玛雅人将零视为数字，但并未与其他文明交流。现代概念由印度学者Brahmagupta于公元628年提出，经阿拉伯人传播到欧洲。起初，欧洲人仍然抵制零这个数字，认为零不是一个“自然”的数字。19结尾，集合论者给出了更严格的自然数定义。根据这个定义，自然数中包含零(对应空集)更方便。逻辑学家和计算机科学家接受集合论者的定义。其他数学家，主要是数论者，遵循从自然数中拒绝零的传统。在全球范围内，目前关于0是否属于自然数的争论依然存在。在国际标准ISO 31-11:1992《量和单位部分XI:物理科学技术中使用的数学符号和符号》(被ISO/IEC 80000-2取代)中，从集合论的角度规定符号N所代表的自然数集合包括正整数和0。在中国大陆，2000年以前的中小学教科书一般不列入自然数，或者属于“扩展自然系列”。2000年以后的新版中小学教材中，自然数一般都包含0。我国在1993年制定的《物理科学与技术中使用的强制性国家标准数学符号》(GB 3102.11-93)参考了国际标准ISO 31-11:1999。自然数集”，n = {0，1，2，3，...当然，集合论者的意见比数论者好，只是因为集合论者的视野比数论者开阔得多，这对于物理科技来说不是问题，因为他们要解决物理问题。在这一点上，其实中国古人说的更准确:“有无，有生命，……”，就像牛顿说画直线不是欧几里得几何解决的问题，而是它的前提；同样，时间和空间不是牛顿解决的问题而是牛顿理论的前提。0是自然数的前提。自然数当然要包含0，就像欧几里得几何必须包含直线一样，但前提和理论体系中所研究的元素还是有区别的。自然数中显然不可能没有0。1从何而来？但是前提和从前提产生的每一个元素真的不一样，需要更多的研究。人类创造的理论总是有局限性的:不仅在未来，在更广阔的方向上，超出其有限的讨论领域，都是不适用的；我们也不能前进。那些逻辑前提只能应用，不能解释。我们可以解释1之后的数是怎么产生的，1是怎么产生的，但不能解释0是怎么产生的。”这是以前人们告诉我们的，所以不需要解释。但不代表你真的不需要解释你之前说过的话，只是你现在不想解释而已。还有一个理解前提的任务，因为事实上所有现存的公理都是连接到最早的高速公路上的，但是没有人能说出最早的公理。所以这个任务其实更大更难。这样的处理只是把它和现在的讨论分开。问题必须一步一步解决，有些可以留给后人讨论解决。我总觉得杨提出的有限宇宙很有意义。之前的科学家要么完全不懂，要么没说的这么清楚。不管什么学科，他们总说自己的工作那么重要，放之四海而皆准。其实大部分科学家主观上不想骗人，实际上是在欺骗大众。所以，学习“有限宇宙”这个概念是非常重要的。如果你真的明白这一点，科学家就不会不自觉地骗人了。我们应该把那个观念做成公共教育的基础教材，让更多的普通人树立那个观念，国家就会好很多，那么多人就不容易被骗了。自然数相关的数学，其实在古代初等数学中已经基本研究过了。现代数论实际上是随着牛顿数学的出现和发展而产生的。其基本特征是将牛顿数学分析的逻辑概念和牛顿下等式的思想应用于自然数领域。它是用来做什么的？研究新的数学思想与现有公理之间的关系，直到最早，应该是有意义的。其意义主要是逻辑上的。如果不研究数理逻辑，不研究那里的逻辑关系，就简单地把牛顿的数学方法应用于自然数，是不太可能得到合理的或者有用的结果的。因为新的数学概念实际上必须帮助我们更好地理解已有公理的内涵，如前一段所述，以前的公理和最早的公理在当时要解决的问题中实际上并没有讨论清楚，所以总是需要讨论的。讨论那些问题的难点在于，我们不能轻易改变“最早(或现存)公理”规则的内容。因为最早的公理已经被用来推导后来的定理，并且不断升级为新的公理，如果改变了最早公理的内容和规则，那么用来推导新公理的整套现有公理系统也将随之改变。但是，如果从另一方面来说，把那些包括最早的公理在内的已经被“提升”为新公理的体系视为不可改变的，或者像现代数学中“数学本身”的公理体系一样，认为只要沿着那条道路不断前进，就可以发展出一个人类思维和实践的公理体系，有可能吗？当然也有一些纯数学家认为有可能，或者认为数学有那个功能。可以反复互动，不断前进。正如前一章很多学数学的哲学家所指出的，这会产生一个自我吞噬的逻辑系统，不断地吞噬自己，并利用它来发展自己。这在逻辑上是不可能的。所以现在哲学家和语言学家都在强调一个新名词，叫做“内涵”。我们可以想办法更好地理解已有的或最早的公理，从而改变那些公理的内容，使之仍然不与整个公理体系相矛盾。这实际上需要外部的参与。没有外部的参与，它只是现有逻辑前提下的一个系统，不可能做到那一点。有了外部参与的新前提，在不与原有理论体系相矛盾的情况下，会有新的发展，即把已有的公理当作有限宇宙中的一个公理，在扩大的宇宙中，它仍然扮演一个局部公理的角色。所以，数理逻辑的研究就是研究数学体系，不是靠它本身，而是如何从外界吸收自然界的新元素后，获得新的逻辑前提，以及如何将那些前提与已有的公理体系融合。只有前提不断扩展，数学体系才能真正发展。研究数理逻辑就是把数学从“自身”中解放出来，并与物理现实相结合，从物理现实中获得新的前提来发展数学；进而将数学体系中产生的新元素整合到物理体系中，构建新的物理理论逻辑框架。只有在新的数理逻辑框架下，才能建立新的自然哲学数理逻辑体系。从19世纪到20世纪初的数学家们在那方面走过了最艰难曲折的道路。虽然在他们走过的道路上还有很多逻辑悖论需要我们去廓清，但我们总体上还是会沿着他们开辟的道路前进，但我们必须打破主流学派的束缚和阻碍。这是我们学习数论的基本态度:沿着前人走过的路开辟一条新路，赶走一切逻辑悖论，找到逻辑思维的发展方向。学习数论的出发点应该还是钢琴公理。为了给自然数下一个严格的定义，皮亚诺利用序数理论提出了自然数的五个公理，称为皮亚诺公理。这五个公理非正式的描述如下:1。1是自然数；2.每一个确定的自然数n都有一个确定的后继数，记为n+或n+1。N+1也是自然数；3.如果m和n都是自然数，m+1 = n+1的后继，则m = n；；4.不是任何自然数的继承者；5.如果某些自然数的集合S有性质:(1)1在S中；(2)如果n在S中，那么n+1也在S中..那么s = n .(这个公理保证了数学归纳法的正确性，所以叫做归纳法原理。)如果把0也看成自然数，那么公理中的1应该用0来代替。现在自然数加0是绝对必要的。其实这里的定义其实就是计数的意思。或者说和人们对计数的理解并不矛盾。换句话说，任何一个能够数得足够大而不遗漏任何数字的人都应该被认为已经理解了钢琴公理。但在所有会数数的人中，知道皮亚诺公理的只是极小一部分。我这么说，并不是说数学(和哲学)中的严格定义都是不必要的废话。其实，合理理解这个看似人人皆知的概念是很重要的。数学中的很多概念在中学和大学的非数学专业的普通公共教育中并没有得到普及。一方面，它们很可能与数学家本身的争论有关，比如关于自然数定义中0的争论。也和中国教育一贯的重技能轻逻辑有较大关系。在我们的讨论中，似乎对现代数学的批评更多。那是因为我们比现代数学的先驱落后了近一个世纪，主要是因为我们比人类实践发展多了一个世纪的经验，而不是说西方的思维方式不如中国。当然，我们应该继承东方思维方式中好的方面，但中国思维中不合逻辑的方面是不能继承的。在自然数的定义中，最早的公理应该来自于“自然”这个概念，这当然是应该考虑的一个方面。根据儿童数不包含0的事实，当时反对自然数包含0是可以理解的。但是，“自然”也是可以随着人类实践和思维的发展而改变的。只要这种改变不会引起对“现有公理”的混淆，而是使其具有新的和更大的内涵，来自“自然”的概念也应该随之发展。在集合论中，不可能没有数0，其中0可以看作是不同于一般元素的特殊元素，但也不能没有它，1必须成为集合中的普通元素。所以长期维持自然数不含0的概念是不合理的，而那种不合理现象的延续正是因为数论者在早期数学中的重要地位，他们的权威造成了一种抵制。但在当今信息社会，0和1已经成为自然数中最重要的元素，自然不可能消失。