希腊数学简史
早期影响
希腊数学的诞生得益于一些邻国的影响，尤其是埃及。在埃及第26王朝时期(公元前685-525年)，尼罗河港口首次对希腊贸易开放，泰勒斯和毕达哥拉斯等希腊重要人物带着新的技能和知识访问了埃及。爱奥尼亚不仅受到埃及的影响，还通过其邻国吕底亚王国接触到了美索不达米亚的文化和思想。
几个世纪后，在希腊化时期，亚历山大大帝征服东方后，希腊天文学繁荣起来。巴比伦和迦勒底文化的天文学知识被提供给希腊人，他们通过系统地使用它而获利。这导致了许多希腊数学工具的进步，例如使用基于60的数字系统，这使得希腊人能够将圆分成360度。用60作为数学体系的基础，不是一个小问题:60是一个有很多约数(1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60)的数，这样更容易处理分数。
埃及对希腊数学的影响也可以从关键的希腊数学术语的词源上看出来。著名的希腊地理学家斯特拉波对几何(字面意思是“土地测量”)一词的起源解释如下:
尼罗河的洪水反复带走和增加土壤，改变景观的布局，隐藏将一个人的土地与其他人的土地分开的标志。必须反复测量，他们说这是几何学的起源...(斯特拉波，地理17.1.3)。
早期成就
希腊人是如何设法将他们的数学知识提高到比埃及人更高的水平的，埃及人是一个更古老的文明？早在公元前3500年，埃及(和巴比伦)就有了世界上最好的计算。埃及人主要将他们的数学知识用于工程目的；没有它，就不可能建造大金字塔和其他令人惊叹的古迹。
希腊人从埃及数学中汲取的主要是具有特定应用的经验法则。例如，埃及人知道边长比为3:4:5的三角形是直角三角形。这是因为，为了形成一个直角，务实的埃及土地测量员用绳子把它分成十二等份，形成一边三份，一边四份，另一边五份的三角形。在三单元边和四单元边的连接处找一个直角。这是一种非常实用的形成直角的方法。埃及人是如何想出这种方法的没有记载。我们也没有埃及关于这个问题的进一步分析的记录。埃及人太实际，无法详细分析这一点。显然，他们的兴趣只在于这种方法的实际应用。一个来自爱奥尼亚的希腊人看着这个3:4:5的三角形，看到了别人似乎没有注意到的东西。他的名字叫毕达哥拉斯，他把3:4:5的三角形问题扩展到了它的逻辑极限，引发了一场知识革命。
毕达哥拉斯(公元前5765438+公元前0-497)是一个特殊运动的领导者和创始人，他的追随者被称为毕达哥拉斯。这个学派的成员深信宇宙可以用整数来描述:1，2，3，4等。基于埃及人已知的3:4:5三角形，毕达哥拉斯提出了一个以他的名字命名的数学定理:在一个直角三角形中，当两个站在较小边上的正方形的面积加在一起时，它们等于站在最长边上的正方形的面积，即直角的对边(斜边)。需要注意的是，希腊人最初是用几何物体而不是数字来表达这个定理的。
为什么这个定理如此重要？因为它展示了一些重要技术的发展。
在抽象技术的基础上，忽略物理上的考虑被认为只是偶然的。不管是绳子，木头还是别的什么都不重要。这都是有角度连接的“直线”的特性，仅此而已。这些线条只是心理结构，是解决问题的唯一必要实体。抽象的过程就是去掉所有非本质元素，只考虑基本元素。
泛化技术是关于开发具有广泛应用的一般原则，而不是具有特定目的的规则。毕达哥拉斯提出的定理不仅适用于3:4:5三角形，也适用于其他任何直角三角形，不论其大小。此外，定理表明，三角形是直角三角形当且仅当最长边的平方与其他两条边的平方之和相匹配:直角位于两条较短边的交点。
演绎推理艺术。这是关于有一套初步的一般陈述或前提，并通过计算它们的逻辑意义得出结论。
论证和演绎意义上的数学。通过演绎推理和概括的结合，数学不再被视为一套静态的规则，而是一个能够复杂发展的动态系统。
我们把它归功于毕达哥拉斯，或者也许是他的追随者，这些数学领域的重要希腊创新。
毕达哥拉斯在数学中发现的美与和谐是如此强大，以至于希腊科学最终被强烈的数学偏见所污染。换句话说，希腊人开始相信演绎推理在数学领域取得了不可思议的成功，是从其他学科获取知识的唯一可以接受的方式。观察被低估，演绎成为王道，希腊的科学知识在除了精密科学之外的几乎每一个分支都被引入了死胡同。这种对数学的高估，从盖伦的一句话就可以看出来:
时间会改变和停止悲伤和其他情绪，仅仅是时间的流逝就让任何人相信他已经受够了“二二等于四”或“一个圆的所有半径都相等”，并让他改变对这些信仰的想法并放弃它们？(盖伦，论希波克拉底和柏拉图4.7.43)
第一次数学危机:2的平方根
勾股定理成立后，提出以下问题:如果我们有一个正方形，每条边的长度是一个单位，我们有第二个正方形，面积是第一个正方形的两倍，那么第二个正方形的边长是多少？比较正方形的边和第一个正方形的边？这就是2的平方根问题的由来。
我们今天知道2的平方根是一个无理数，这意味着它不能用任何简单的分数来表示。然而希腊人并没有意识到这一点，所以他们一直在试图解开这个谜团，得到一个有效的答案。毕达哥拉斯学派想尽办法解决了这个难题，最终面对了两个整数的比值不能表示2的平方根的现实。
毕达哥拉斯学派小心翼翼地保守着无理数的秘密。原因是这个秘密在毕达哥拉斯信仰的根源上造成了某种危机。关于毕达哥拉斯学派的一个成员，有一个有趣的描述(其历史准确性不确定)，他显然向兄弟会以外的人泄露了秘密。这个叛徒被扔进深水淹死了。这一事件有时被称为科学的第一殉道者。但是，我们也可以把这个人看作是众多迷信殉道者中的一个，因为这场谋杀的根源并不是无理数的科学方面，而是他的宗教推论被看作是毕达哥拉斯神秘主义的基础。
无理数的危机促使人们创造出巧妙的方法来逼近2的平方根值。最好的例子之一是下表中描述的方法:
在多次寻找2的平方根的尝试失败后，希腊人别无选择，只能接受算术不能作为数学的基础。他们不得不去别处寻找，所以他们学习了几何学。
欧几里得系统
欧几里得(公元前325-265年)是一位住在亚历山大的古希腊数学家。他熟悉在他之前的所有希腊数学著作，所以他决定将所有这些知识组织成一部连贯的著作。这本书，我们称之为元素，是历史上第二畅销书，仅次于圣经。
元素主要因为它们的几何形状而被记住。第一本书的开篇以基础几何的不同定义开始:
1.这一点没有意义。
2.线是没有宽度的长度。
3.一条线的端点是一个点。
4.直线是指与自身上的一点齐平的直线。
5.一张脸只有长和宽。
6.曲面的末端是一条线。
(欧几里德，定义1到6)
元素的内容没有原创性(他只是一个编译器)。但作品的命题顺序和整体逻辑结构，很大程度上是欧几里德的创造。毫无疑问，这是历史上最重要、最有影响力的著作之一，也是希腊知识分子传统的杰作。
从现代科学知识来看，元素是有一些缺陷的。首先，它完全依赖于演绎(根据一组假定的不证自明的概括得出结论)，在演绎中找不到归纳的痕迹(从对具体事实的观察出发，从中得出概括)。其次，它遵循一个逻辑顺序，在这个顺序中，所有的定理都可以用以前证明的定理来证明。这种逻辑顺序将我们引向一组无法证明的初始假设。欧几里得认为这些假设是不容置疑的，这意味着它们是如此明显，没有必要证明它们。这个结构的类比就是一个链条，每个环节都需要连接到另一个环节，但是最初的环节只是挂着，无处连接。
蒂连问题
除了2的平方根，还有一个著名的问题困扰着希腊人:立方体的重复。传说是这样的:
阿波罗的神谕告诉德尔福斯的人们，为了摆脱瘟疫，他们应该为他建造一个比现有祭坛大一倍的祭坛。(士麦那的席恩，论麦基翁数学的有用性)
建筑师不知道如何解决这个问题。祭坛的形状是一个立方体。人们可能想到的第一个想法是简单地将祭坛的四个边扩大一倍，但这会导致祭坛比原来大八倍，而不是两倍。解决这个问题的正确方法是问:如果我们希望新祭坛的体积是原来祭坛的两倍，那么新祭坛的每一边应该有多长？这是关于确定2的立方根的值，2也是一个无理数。这个问题在几何上造成的混乱，就像2的平方根在算术上造成的混乱一样。
包括柏拉图在内的希腊数学家提出了这个问题，并研究了几个世纪，产生了许多令人钦佩的作品。这里的核心问题是能够确定2的立方根。
数学刚性在希腊数学中的重要性
希腊人理解埃及人无法理解的东西:数学严谨性的重要性。例如，古埃及人把一个圆的面积定为等于一个正方形的面积，这个正方形的边长是圆直径的8/9。通过这种计算，数学常数pi的值为256/81。这是一个非常精确的计算(大约一半的误差)，但在数学上是不正确的。但是，就埃及项目而言，半个百分点的误差其实无所谓，否则他们那令人印象深刻的丰碑早就倒塌了。但是，忽略这半个百分点的误差，就会忽略了圆周率真实值的一个基本属性，那就是没有分数来表示。也是无理数。
埃及人也对其他数字进行四舍五入，比如2的平方根(分数是7/5)。通过使用四舍五入的数值，埃及人没有注意到这些数字的不合理性。希腊人痴迷于数学的严谨；对他们来说，四舍五入是不够的。他们承认数学语言的准确性。
通过不放弃对数学准确性的追求，希腊人发展了一种数学知识，它和天文学一起，可能是他们智力成就最令人钦佩的丰碑。