18世纪的解析几何和微分几何(5)
和空间曲线理论一样，曲面理论的建立也是一个相当漫长的过程。曲面理论始于对曲面(地球)上测地线的研究。1697约翰·伯努利问:如何求凸曲面上两点间最短的弧？1698年，他给莱布尼茨写信说，测地线任意一点的紧平面(紧圆平面)都垂直于该点的曲面。同年，他的兄弟詹姆斯·伯努利解决了圆柱体、圆锥体和旋转曲面上的测地线问题。30年后，约翰·伯努利用他哥哥的方法寻找其他曲面的测地线，但詹姆斯·伯努利的方法有局限性。
在1728中，欧拉用他在变分法中引入的方法给出了曲面上测地线的微分方程，而在1732中，雅各布·赫尔曼也算出了一些特殊曲面上的测地线。Clairaux在他1733和1739的著作中充分讨论了回转曲面上的测地线，证明了测地线与通过测地线的任一子午线的夹角的正弦与交点到旋转轴的垂直距离成反比。他还证明了如果一个平面通过回转曲面的任意一点M，并垂直于该曲面和通过点M的子午面，则该平面与曲面在点M处的交线的曲率半径等于点M与旋转轴之间的法线的长度。虽然他使用了分析方法，但他没有变分法的思想。
1760年，欧拉发表了《曲面上曲线的研究》，其中建立了曲面理论，这是微分几何发展史上的里程碑。他将曲面表示为z=f(x，y)并引入了现代标准符号。首先，他找到了曲面任意平面截面曲率半径的表达式，然后将结果应用于法截面。他将垂直于xy平面的法截线定义为主法截线，得到了法截线的曲率半径。他想求曲线上一点处所有法线的最大曲率和最小曲率，发现有两个相差90°的根，即两个法线平面互相垂直。我们称这两个曲率为主曲率κ1和κ2。由欧拉的结果推导出，与主曲率所在的任一法截线成α角的任一法截线上截线的曲率κ为:κ = κ 1cos 2α+κ 2sin 2α，这个结果称为欧拉定理。、
来自加斯帕尔·蒙日的学生jean Baptiste Marie(j . b . m . meus nier de la Place，中文翻译为Mesny，1754-1793)在1776中以更微妙的方式得到了同样的结果。梅斯尼和拉瓦锡一起研究流体动力学和化学。他处理了不合法截面的曲率(欧拉有一个复杂的表达式)，叫做梅斯尼定理:一个曲面在P点的平面截面的曲率是原平面与P点的切平面夹角的正弦除以同一切线在P点的法截面的曲率，他证明了两个主曲率相等的曲面只有平面和球面。他的论文在18世纪做出了许多直观的结果。
绘制地图的需求发展了曲面理论的一个主要领域:可展曲面的研究，即在平面上平坦而不变形，形状接近球面的曲面。欧拉是研究这个问题的第一人。18世纪的曲面被认为是固体的边界，所以他认为固体表面可以在平面上展平。他引入了曲面的参数化表示，试图找出函数满足什么条件才能使曲面在平面上展开。他导出了可展的充要条件，方程等价于曲面上的线元等于平面上的线元。
然后欧拉研究了空间曲线与可展曲面的关系，证明了空间曲线的任意切族填充或构成可展曲面。他试图证明每一个可展曲面都是直纹面(直线运动生成的曲面)，逆定理也成立，但是失败了(实际上逆定理不成立)。
加斯帕尔·蒙日独立研究了可展曲面这一课题。他把解析方法和几何方法结合起来，是继笛卡尔之后的第二位综合几何领域的代表人物。加斯帕尔·蒙日在画法几何(建筑用)、解析几何、微分几何、常微分方程和偏微分方程方面的工作赢得了拉格朗日的钦佩和羡慕。他还在物理、化学(他与梅斯尼和拉瓦锡一起工作)、冶金和力学方面做出了许多贡献。他看到了工业发展对科学的需求，主张工业化改善民生。也许是因为他出身贫寒，了解底层的疾苦，所以热心社会事务。他在法国大革命后(可能是1792年前后)在政府中担任海军大臣和公共卫生委员会委员，与尚未成名的拿破仑交好，但他自己也记不清了。后来，随着革命愈演愈烈，加斯帕尔·蒙日差点被群众杀死，被拿破仑救了。)他设计武器，用技术思想指导政府官员。他是波拿巴的支持者(但看了百度百科，没觉得他崇拜拿破仑)。后来波旁王朝复辟，让天才的晚景黯淡。加斯帕尔·蒙日帮助组织了许多技术学校，并建立了几何学院(他创立的画法几何被要求签署保密协议，因为它太强大了，直到多年后才在巴黎公开教授)。他是一位伟大的老师，至少有65，438+02名学生是65，438+09世纪早期的著名人物。
加斯帕尔·蒙日对三维微分几何的贡献远远超过了欧拉。1795年发表论文，对过去的成果进行了系统化和扩展，提出了一些新的重要结果，将曲线曲面的性质翻译成偏微分方程的语言。在寻求分析与几何的对应时，他认识到一族具有相同几何性质或由相同生成方法定义的曲面应满足一个偏微分方程。
加斯帕尔·蒙日的第一部重要著作是关于双曲率曲线的可展曲面，研究了空间曲线及其相关曲面。他认为空间曲线是空间两条相交直线或两个相互垂直平面的投影。他把法线平面和相邻法线平面相交的极端位置称为极轴。当沿曲线运动时，法平面的包络线是一个可展曲面，称为极可展曲面。为了求解极可展曲面的方程，他给出了法平面方程，进而给出了单参数平面族包络线的求法规则，沿用至今，也适用于单参数曲面族。
加斯帕尔·蒙日还研究了可展曲面的脊线，它是由生成曲面的一组直线形成的。脊线把可展曲面分成两片叶子，就像尖点把平面曲线分成两部分一样。加斯帕尔·蒙日得到了脊线方程。在极可展曲面上，脊线是原空间曲线曲率中心的轨迹。
1775年，加斯帕尔·蒙日发表了一篇关于阴影和半阴影理论中遇到的可展曲面的论文，直观地说明了可展曲面是直纹面(而不是反过来)。在直纹面上，两条相邻的直线是* * *点或平行，任何可展曲面都等价于空间曲线的切线生成的曲面。在本文中，他给出了可展曲面的一般表示，然后又给出了直纹面的一般表示，直纹面是一种特殊的直纹面。
在1776中，他研究了如何最有效地把土壤从一个地方移到另一个地方。其实这篇文章的重点不是应用，而是几何结果。他从处理一族直线或两个参数的线相交的问题入手，然后沿袭欧拉和梅斯尼的工作，考虑曲面s的法线族，曲率线的曲面法线构成可展曲面，称为法向可展曲面(这些术语让我魂不附体……)。类似地，沿垂直于第一曲率线的曲率线的曲面法线也构成可展曲面。因为曲面上有两族曲率线，所以有两族互为正交的可展曲面。可展曲面族的所有脊形成一个曲面，该曲面称为中心曲面。每一族可展曲面的包络称为焦面。
加斯帕尔·蒙日关于满足非线性、线性一阶、二阶、三阶偏微分方程的曲面族的研究工作，对偏微分方程具有重要意义。他喜欢通过讨论特定的曲线和曲面来阐明自己的想法。他的思想的普及和应用是在19世纪由数学家实现的。加斯帕尔·蒙日面对现实，在他1795的论文中，他以理论如何应用于建筑施工作为结尾。
加斯帕尔·蒙日学生皮埃尔·夏尔·弗朗索瓦·潘迪(1784-1873)也对表面理论做出了贡献。潘迪是一名造船工程师，也注重应用。他的贡献之一是潘迪指数线，它澄清了欧拉和梅斯尼以前的结果。给定曲面在点m处的切面，从点m到切面的每个方向画一条线段，其长度等于曲面在该方向法线的曲率半径的平方根，这些线段端点的轨迹是一条二次曲线，即指标线。通过曲面上M点的曲率最大和最小的曲线是以指数线的轴为M点切线的曲线，潘迪也给出了三族正交曲面在每个曲面的曲率线上相交的定理(法曲率最大或最小的曲线)
潘迪推广了加斯帕尔·蒙日在线交换上的结果。如果一条线汇流与一族曲面正交，则称它正交。法国物理学家马里乌斯·马吕斯(1775-1812)用加斯帕尔·蒙日的结果证明了从一点出发的法线在曲面上反射或折射后仍然是法线。1816潘迪证明了这个定理在经过任意次数的反射后，对于任何法线汇流仍然成立。后来kettler Lambert Adolphe Jacques quet let(1796-1874)证明了正常的线汇经过多次折射后仍然是正常的线汇。线收敛和线丛(Marius引入的一族三参数曲线)是19世纪许多数学家研究的课题。