现代数学的兴起

第一节中世纪的欧洲

在巴比伦文明、埃及文明、中国文明、印度文明、希腊文明和罗马文明的繁荣时期，欧洲(希腊和意大利除外)还处于原始文明时期，公元500年左右开始出现新的文化。5 ~ 11世纪是欧洲历史上的黑暗时期。天主教会成为欧洲社会的绝对权力，封建的宗教统治使普通人相信天国，追求来世，从而对世俗生活漠不关心，对自然不感兴趣。教会宣扬天启的真理，拥有解释这一真理的绝对权威，导致理性受到压抑，欧洲文明在整个中世纪处于停滞状态。

由于罗马人强调实用性而不是发展抽象数学，这也对罗马帝国崩溃后的欧洲数学产生了一定的影响，最终使黑暗时代的欧洲在数学领域一事无成。但是，由于宗教教育的需要，也有一些低级的算术和几何教科书。波伊齐(约480~524)，罗马人，根据希腊文资料，用拉丁文编写了几何、算术等教科书。几何的内容只包含几何第一册和第三、四册的一些命题，以及一些简单的测量。算术是基于尼各马科斯四百年前写的一本简单的书。这么简单的一本书，一直是欧洲教会学校的标准教材。此外，这一时期还有英国人比德(674 ~ 735)和法国人热尔贝(约950~1003，第一个在西班牙穆斯林学校学习的基督徒)也讨论数学。前者研究的是算术中的记数法，据说后者可能把印度阿拉伯数字带到了欧洲。

直到公元12世纪，欧洲数学才出现复苏的迹象。阿拉伯语和希腊语作品的翻译和传播开始刺激这种复苏。大约在1100年，欧洲人通过贸易和旅游与地中海和近东的阿拉伯人以及东罗马帝国的拜占庭人接触。十字军东征掠夺土地使欧洲人进入阿拉伯世界。从此，欧洲人向阿拉伯人和拜占庭人学习希腊和东方古典学，刺激了他们对这些学术著作的搜寻、探索和研究，最终导致了文艺复兴时期欧洲数学的热潮。意大利作为文艺复兴的前哨，由于其特殊的地理位置，很容易与外部文明接轨，西西里也成为了东西方文化的大熔炉。西欧古代学术交流的路线如下图所示。

数学著作的翻译主要包括英国阿德拉德(约1120)翻译的《几何原本》和《华天文表》。意大利柏拉图(65438+2世纪上半叶)翻译的阿尔巴塔尼天文学、迪奥多·休斯球面几何学等著作。格拉多(Gherardo，1114 ~ 1187)，12世纪最伟大的翻译家，将90多部阿拉伯语著作翻译成拉丁文，包括托勒密的《大汇编》、《几何原本》、华·的。因此，可以说12世纪是欧洲数学的翻译时代。

欧洲黑暗时代之后，第一个有影响的数学家是斐波那契(1170 ~ 1250)。早年随父亲在北非与阿拉伯人学习算术，后游历地中海各国，回到意大利撰写《阿巴契》，1202)。这部名著主要是古代中国、印度和希腊数学著作的内容，包括印度阿拉伯数字、分数算法、开方法、二次和三次方程、不定方程，以及几何和希腊三角学的大部分内容(如中国数学的“孙子问题”和“百鸡问题”都出现在这本书里)。特别是该书系统地介绍了印度数字，影响了欧洲数学的面貌。《珠算书》可以看作是欧洲数学在漫漫长夜后复苏的号角。

欧洲数学复苏的过程非常曲折。从12世纪到15世纪中期，教会中的经院哲学派利用重新引入的希腊著作中的消极成分来抵制科学的进步。特别是他们把亚里士多德和托勒密的一些学术视为绝对正确的教条，企图继续用这种新的权威主义来束缚人们的思想。欧洲数学的真正复苏将在15和16世纪。在文艺复兴的高潮时期，数学的发展与科学创新紧密结合，数学在认识自然和探索真理中的意义受到文艺复兴代表的高度强调。达芬奇(1452~1519)说:“如果一个人怀疑数学的极端可靠性，他就会陷入混乱，他将永远无法平息诡辩科学中的争论，这只会导致无休止的空谈。.....因为人们的讨论不能称之为科学，除非用数学来解释和论证。”伽利略简单地认为宇宙“这本书是用数学语言写的”。科学中数学化趋势的发展促进了数学本身的繁荣。下面简单介绍一下这一时期数学发展的重要方面。

第二节向现代数学过渡

2.1代数

欧洲人在数学上的进步是从代数开始的，代数是文艺复兴时期最突出、影响最深远的领域，揭开了现代数学的序幕。主要包括三次和四次方程的求解以及符号代数的介绍。

翻译家格拉多(1114 ~ 1187)将华拉齐米的《代数》翻译成拉丁文，开始在欧洲流传。然而，直到15世纪，人们还认为三次和四次方程和化圆为方的问题一样难解。第一个突破是由博洛尼亚大学的数学教授Scipionedel Ferro(1465 ~ 1526)在1515左右完成的。他发现了(m，n的三次方程的代数解)的形状。当时流行学者不公开自己的研究成果，费罗将自己的解决方案偷偷传给了他的学生安东尼奥·玛丽亚·菲奥。与此同时，另一位意大利数学家尼依格罗酒店·丰塔纳1499？~1557，外号塔尔塔利亚，也声称可以分解为(m，n > 0)三次方程。于是，菲奥开始向塔塔格里亚挑战，要求他们解对方提出的十三个三次方程。结果塔塔格里亚很快就解决了形和形(m，n > 0)，而Feo只能解决前一种类型的方程。塔塔格里亚也没有发表他的解决方案。在米兰教书行医的学者G .卡尔达诺(1501~1576)的一再要求下，塔塔格里亚教了他解决的办法。很快，卡丹违背了自己的承诺，在Ars magna，1545)上发表了这些解决方案。大法中包含的三次方程x3+px= q的解法，本质上考虑了恒等式(a-b)3+3ab(a-b) = a3-b3。

如果选择A和B，3ab= p，a3-b3 = q，(*)

从(*)中不难算出a和b。

a = b=

所以得到a-b就是期望的x，后人称之为卡尔丹公式。

三次方程求解后不久，1540年，意大利数学家T .达科伊向卡尔丹提出了一个四次方程的问题。为了求解，卡尔丹由他的学生洛多维奇·费拉里(1522 ~ 1565)求解，他的解也是卡尔丹在《大书》中写的。解决方法是通过使用变换来简化一般的四次方程，并且进一步

所以，对于任何z，都有

然后选择一个合适的z使上面公式的右边完全平坦，这实际上使

去做吧。这就成了z的三次方程。

法拉利讨论的四次方程类型主要有:

当然，说卡尔丹完全抄袭是不公平的，因为他已经在书中注明泰山告诉他这个解决方案，泰山也没有给出任何证明。卡尔丹不仅将塔德希方法推广到一般的三次方程，还补充了几何证明。书中混淆了三次方程求解中所谓的“不可约”情况(不可约情况是判别式)，本质上涉及到实数的复数表示。1572年，卡尔·马克思去世四年后，意大利数学家R.Bombelli(约1526~1573)在他的教科书《代数》中引入虚数来求解三次方程的不可约性，并表示为DIMMRQ11。-11.卡尔丹认为复数根是成对出现的(这个推测后来被牛顿(1642~1727)在他的《万有算术》中证明了)，并且认识到三次方程有三个根，四次方程有四个根。在此基础上，荷兰人Albert Girard(1593 ~ 1632)在《代数的新发现》(1629)中做了进一步的推论:对于n次多项式方程，如果把不可能(复数根)考虑在内，包括重根，则应该有n个根。然而，没有给出任何证据。卡尔丹还发现，三次方程的三根之和等于x2项的系数的倒数，每两个乘积之和等于x项的系数，等等。根和系数之间的关系后来被大卫(f .维塔，1540 ~ 1603)、牛顿和格里高利(詹姆斯·格雷戈里，1638)解决了。

在法国，数学家吠陀还写了几本关于方程理论的书，如《分析方法导论》(1591)、《关于方程的排列和修正》(1615)、《有效数值解法》(1600)。吠陀给出了代数方程的近似值。1637年，笛卡尔(1596 ~ 1650)首次用待定系数法将四次方程分解为两个二次方程。今天说的因式分解定理，最早是笛卡尔在《几何》中提出的。他说:f (x)能被(x-a)整除当且仅当A是f (x) = 0的根。他还证明了如果有理系数的三次方程有有理根，则多项式可以表示为有理系数因子的乘积，并引用了待定系数法的原理。笛卡尔没有用几何证明。n次多项式方程应该有n个根的结论，以及今天所谓的“笛卡尔符号法则”:多项式方程f (x) = 0的最大正根数等于系数的变号数，最大负根数等于两个正号和两个负号连续出现的次数。纵观笛卡尔的工作，不难发现他已经初步建立了多项式方程有理根的现代方法。

文艺复兴时期欧洲方程理论和代数的研究，是数学史上精彩的一页。意大利人在解三次和四次方程方面的工作，是整个17和18世纪数学中一系列关于高次代数方程理论的漫长而深远的探索的起点。

代数上的进步还在于引入了更好的符号体系，这对代数本身的发展和分析的发展都是非常重要的。正是因为符号系统的建立，代数才有可能成为一门科学。现代数学最明显和突出的标志之一是数学符号的广泛使用，它体现了数学的高度抽象性和简洁性。文艺复兴时期代数的另一个重大进步是符号代数的系统引入。

虽然埃及人、希腊人、印度人零星地使用缩写词和符号，中国宋元数学家引入天元、地元、人元、物元来表示未知数，但他们并没有意识到这样做的意义。只有丢番图有意识地使用符号，使代数的思维和书写更加紧凑和有效。也许是印刷术传入欧洲的结果，虽然15世纪和16世纪初欧洲数学著作的书写形式以文章状为主，但流行使用一些特殊词语和特定数学符号的缩写。在意大利修道士L.Pacioli(约1445 ~ 1509)~ 1567)对算术性质的总结中，几何和比例，综合算术(1544)，以及C . Rudolff(约1500~约1545)的求根尤为显著。

数学符号的系统化首先归功于法国数学家吠陀，他的符号系统的引入导致了代数性质最重大的变化。大卫原本是一名律师和政治家，业余时间研究数学。他曾在布列塔尼的议会工作，后来担任纳瓦拉亨利王子理事会的顾问。他在政治失意的时候从1584到1589致力于数学研究，研究过卡丹、塔塔格里亚、邦贝利和史蒂文(史蒂文，1549)。从这些作品，尤其是丢番图的作品中，他得到了使用字母的想法。他在《分析导论》(1591)中，第一次有意识地使用了系统的代数字母和符号，辅音代表已知量，元音代表未知量。他称符号代数为“类的算术”。同时明确了算术与代数的划分，认为代数的运算应用于事物的类或形式，算术的运算应用于具体的数。这使得代数成为一门研究一般类型的形式和方程的学科，并且由于它的抽象性，它的应用更加广泛。

大卫的做法得到了后人的赞赏，并被吉拉德的《代数新发现》和奥特雷德的《实用分析》(奥特雷德，1575~1660)所继承，并被灵活运用，特别是通过后者的著作，使用数学符号的趋势开始流行。吠陀使用的代数方法的改进是由笛卡尔完成的。他首先用前几个拉丁字母(a、b、c、d、…)代表已知量，后几个(x、y、z、w、…)代表未知量，这成为今天的习惯。他改变了吠陀的惯例，不加区别地采用文字系数。大卫的符号代数保留了齐次性原理，要求方程中的所有项都是“齐次的”，即体积和体积相加，面积和面积相加。这个障碍也随着笛卡尔解析几何的诞生而消除。

到十七世纪末，欧洲数学家普遍意识到，在数学中刻意使用符号有很好的效果。并使数学问题一般化。但是，当时随意引入的符号太多了，我们今天使用的符号，其实都是经过长时间的淘汰后遗留下来的。