什么是傅立叶变换？
从现代数学的角度来看，傅立叶变换是一种特殊的积分变换。它可以将满足一定条件的函数表示为正弦基函数的线性组合或积分。在不同的研究领域，傅里叶变换有许多不同的变体，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
傅立叶变换属于谐波分析的内容。“分析”这个词可以解释为深入研究。从字面上看，“分析”这个词其实就是“零碎分析”。它通过对函数的“零碎分析”来实现对复杂函数的深入理解和研究。哲学上，“分析主义”和“还原论”旨在通过恰当的分析来提高对事物本质的理解。比如现代原子论，试图把世界上所有物质的起源分析为原子，但是原子只有几百个。与物质世界的无限丰富相比，这种分析和分类无疑为理解事物的各种属性提供了很好的手段。在数学领域，也是如此。虽然傅立叶分析最初是作为热工过程的分析工具，但其思维方法仍然具有典型的还原论和分析论的特点。“任意”函数都可以通过一定的分解表示为正弦函数的线性组合形式，正弦函数是物理学中已经得到充分研究的比较简单的函数。这种想法和化学中原子论的想法是多么相似啊！奇怪的是，现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质，这使得它如此容易使用和有用，以至于人们不得不感叹创造的神奇:
1.傅立叶变换是线性算子，如果给定适当的范数，也是酉算子；
2.傅里叶变换的逆变换很好找，形式和正变换很像；
3.正弦基函数是微分运算的固有函数，从而使线性微分方程的求解转化为常系数代数方程的求解。在线性时不变的物理系统中，频率是一个不变的性质，因此系统对复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率的正弦信号的响应来获得。
4.著名的卷积定理指出，傅里叶变换可以将复杂的卷积运算转化为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的简单手段；
5.离散傅里叶变换可以用数字计算机快速计算(其算法称为FFT)。
由于上述良好的性质，傅立叶变换被广泛应用于物理、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域。