什么是线性空间？

一个集合是向量集合，另一个集合是数集合(也就是考虑中的数域)。

讨论线性空间的维数必然与所考虑的数域有关。

作为向量集，把复域C看成复域C上的线性空间，那么我们的方向ε=1≠0，ε是线性无关的(只有1个非零向量一定是线性无关的)。

因此，对于任何向量α ∈向量集C，在复数域中存在数α，所以

α=α×ε=α×1(左边的α是向量，右边的α是复数域中的数)。

也就是说，向量α可以由向量ε=1线性表示，

所以ε是线性空间C的一组基，所以dimC=1。

但如果把线性空间C看成实数域R上的线性空间，那么我们的定向ε1=1，ε2=i∈向量集C，那么ε1和ε2是线性无关的。

对于任意向量α ∈向量集C，实数域中有数A和B，所以α = A× 1+B× I。

也就是说，向量α可以由向量ε1=1，ε2=i，

(注意这里线性表示的系数必须是实数A和B，而不是复数。)

所以ε1，ε2是线性空间C的一组基，所以dimC=2。