向量的历史

17世纪，伽利略(意思是，1564-1642)在两门新科学上写了几本书。

自始至终包含着函数或变量之间关系的概念，用文字和比例的语言表达函数之间的关系。笛卡尔(笛卡尔，

方法，1596-1650)在他的解析几何中，他已经注意到了一个变量对另一个变量的依赖性，但是直到17他才意识到需要细化函数的一般概念。

牛顿和莱布尼茨在世纪末建立微积分的时候，数学家们还没有搞清楚函数的一般意义，大多数函数都是作为曲线来研究的。

1.2 18世纪函数概念——代数概念下的函数

1718

直到2006年BernoulliJohann(瑞士，1667-1748)才在莱布尼茨函数概念的基础上明确定义了函数的概念:由任意变量和常数。

伯努利把变量x和常数以任何方式形成的量称为“x的函数”，在函数的概念中表示为任何形式，包括代数式和超越式。

18

世纪中叶，L. Euler(瑞士，1707-1783)给出了一个非常形象的函数符号，一直沿用至今。欧拉的定义是，一个变量的函数就是这个变量的和。

由一些数字或常数以任意方式组成的解析表达式。他把约翰·伯努利对函数的定义称为解析函数，并进一步分为代数函数(仅指自变量之间的代数运算)和超越函数(三角函数、对数函数和变量的无理幂)，还考虑了“任意函数”(表示任意绘制曲线的函数)。不难看出，欧拉对函数的定义比约翰·伯努利的定义更具有普适性和更广泛的意义。

1.3 19世纪函数概念——对应下的函数。

1822傅立叶(方法，1768-1830)发现有些函数可以用曲线表示，可以用一个公式表示，也可以用多个公式表示，从而结束了函数概念是否用一个公式表示的争论，把对函数的认识推上了一个新的台阶。在1823中，柯西(method，1789-1857)从变量的定义给出了函数的定义，并指出虽然无穷级数是指定函数的有效方法，但函数不一定要有解析表达式，但他仍然认为函数关系可以用多个解析表达式来表示，这是一个大的。

1837

狄利克雷(德国，1805-1859)认为如何建立X和Y之间的关系是无关紧要的。他拓宽了函数的概念，指出:“对于一定区间内的每一个，

x的某个值与y有一个或多个确定值，故称y为x的函数”狄利克雷函数定义，避免了以往函数定义中对依赖关系的所有描述，简洁准确，具有

完全清晰的方式是所有数学家无条件接受的。至此，可以说函数的概念和函数的本质定义已经形成，也就是人们常说的经典函数定义。

康托尔(Cantor，德国，1845-1918)创立的集合论在数学中发挥重要作用后，凡勃伦(美国，1880-1960)用“集合”和“对应”。

1.4现代函数概念——集合论下的函数

房子路1914

F.豪斯多夫在《集合论大纲》中用“序偶”来定义函数。它的优点是避免了“变量”和“对应”的模糊概念，缺点是引入了歧义。

“有序夫妇”的概念。在1921中，Kuratowski用集合的概念定义了“序偶”，即序偶(a，b)是集合{{a}，{b}}，从而使郝。

斯托夫的定义非常严格。在1930中，新现代函数被定义为:若总有一个由集合N确定的元素Y对应于集合M的任意元素X，则称一个函数定义在集合M上，记为

y=f(x).元素x称为自变量，元素y称为因变量。

函数概念的定义历经300多年的锤炼和变化，形成了函数的现代定义形式，但这并不意味着它。

它标志着函数概念发展的历史终结。20世纪40年代，由于物理学研究的需要，人们发现了一种狄拉克-δ函数。它在一点不是零，但它在整条线上的积分等于。

1，这在函数和积分的原始定义下是不可想象的。但由于广义函数概念的引入，统一了上面提到的函数、测度和Dirac-δ函数的概念。因此，随着

随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念会不断扩大。

矢量也叫向量，即既有大小又有方向的量称为向量。矢量是作为力、速度和加速度的大小相等而引入数学的。

希腊的亚里士多德(公元前384年-公元前322年)已经知道力可以表示为矢量，利用平行四边形定律可以从两个矢量得到两个力的合成。也就是说，用这两个力代表的矢量作为平行四边形，其对角线的大小和方向代表合力的大小和方向(如下图)。

德国的史蒂文(1548？-1620?)在静力学问题上，应用平行四边形法则。伽利略(1564-1642)明确阐述了这个定律。

后来丹麦的威塞尔(1745-1818)、瑞士的阿公(1768-1822)发现了复数的几何表示，德国的高斯(1777-1855)

英国数学家哈维尔(1850-1925)在向量分析方面做出了很多贡献。他首先给出了向量的定义:vector = a+b+c这里，，和分别是沿X，Y，Z轴的单向向量，系数A，B，C是实数，称为分量等等。至于N维向量的理论，是德国数学家格拉斯曼在1844年提出的。

三角学的起源和发展

三角学，三角学的英文名，命名于公元1600年。其实源于希腊语trigono(三角形)和metrein(度量)。其本义是三角形测量(解)，是基于研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系来实现测量的应用的一门学科。早期的三角学是天文学的一部分，后来研究范围逐渐扩大，成为以三角函数为主要对象的学科。现在，三角学的研究范围已经不局限于三角形，它是数学分析的基础，是研究实用科学的必要工具。

(一)西部开发

三角学大约在公元前150年创立。早在公元前300年，古埃及人就有了一些三角学的知识，主要用于测量。比如建造金字塔，尼罗河洪水后整理耕地，贸易航海，观测天象。公元前600年左右，古希腊学者泰勒斯(p13)利用相似三角形原理测量金字塔的高度，成为西方三角测量的开端。公元前2世纪后，希腊天文学家尼西亚的希帕克出于天文观测的需要，制作了类似于现在的三角函数表的“弦表”，即固定圆内不同圆心角的弦长表。他成为西方三角学最早的创始人，这一成就为他赢得了“三角学之父”的称号。

公元2世纪，托勒密(85-165)，希腊天文学家和数学家。

继承希波克拉底的成果并加以发挥，写出了天文学巨著(13)，包括从0°到90°间隔半度的弦表和一些等价于三角函数性质的关系，被认为是西方第一部系统论述三角学理论的著作。和他差不多大的梅内利奥斯写了一本书《球面学》，专门研究球面三角学，包括球面三角形的基本概念，球面上许多平面三角形定理的推广，球面三角形的许多独特性质。他的工作使希腊三角学达到了鼎盛时期。

(二)中国的发展。

中国古代没有角函数的概念，只用勾股定理来解决三角学中的一些实际问题。据《周易sun经》记载，与泰勒斯同龄的陈子曾用毕达哥拉斯定理测量太阳的高度，他的方法后来被称为“重力差法”。1631西方三角学第一次传入，以德国传教士邓、、中国学者徐光启主编的《大策》为代表(p20)。同年，徐光启等人也写出了《测量的全部意义》，其中包括平面三角形和球面三角形的讨论。1653年，薛凤佐与波兰传教士穆尼格合编《三角算法》，用三角代替三角，建立了三角这个名称。在1877中，华恒旭等人对三角级数的展开进行了独立的讨论。

现代三角学主要研究角度的特殊作用及其在科学技术中的应用，如几何计算，多发展于20世纪中期。

二、三角函数的演变

正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、割线函数、余切函数统称为三角函数。

三角学的知识虽然起源于古代，但最早是欧拉(p 16)(1707-1783)在《无穷小分析导论》中给出的。在欧拉之前，三角函数的研究大多是在一定半径的圆内进行的。比如古希腊的托勒密设定半径为60；印度阿雅巴塔(约476-550)半径3438；德国数学家乔万纳斯(1436-1476)为了精确计算三角函数的值，曾经设定半径为60万。后来，为了制作更精确的正弦表，半径被设置为107。所以当时的三角函数其实就是圆内某些线段的长度。

意大利数学家莱蒂克斯(1514-1574)改变了以往的做法，即过去一般称AB为正弦，将正弦与圆牢牢地联系在一起(如下页所示)，但莱蒂克斯称之为∠AOB正弦，使正弦值直接与角度挂钩，圆O成为从属。