数学期望E(x)=1。E(x+1)=？

将1理解为E(X2)=1的一个期望。那么因为它们是独立的，所以E(x+1)= E(x)+E(x2)= 1+1 = 2。

需要注意的是，期望值不一定等于常识上的“期望”——“期望值”不一定等于每一个结果。期望值是变量输出值的平均值。期望值不一定包含在变量的输出值集合中。

历史故事

17世纪，一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一个题目:甲和乙赌博，两人的胜算相等。游戏规则是，先赢三局者为胜者，赢五局者可获得100法郎的奖励。比赛进行到第四局时，甲赢了两局，乙赢了一局。此时游戏因故中止，那么100法郎如何分配比较公平？

有了概率论的知识，就不难知道A赢的可能性大，B赢的可能性小。

因为A输掉最后两场比赛的概率只有(1/2)×(1/2)= 1/4，也就是说，A赢下最后两场或其中任何一场比赛的概率是1-(1/4) = 3/4。然而，如果B期望赢得100法郎，它必须在最后两场比赛中击败A。B连续赢最后两局的概率是(1/2)*(1/2)= 1/4，即B有25%的概率赢100法郎。

可以看出，虽然比赛不能再打，但根据上述可能性，甲乙双方对最终胜利的客观预期分别为75%和25%，那么甲方应得到100 * 75% = 75(法郎)，乙方应得到100×25% = 25(法郎)。这个故事中出现了“期望”一词，数学期望由此而来。