四色定理的研究历史
1852，10年10月23日，他的弟弟向他的老师、著名数学家德·摩尔根请教这个问题的证明。摩尔根也找不到解决这个问题的方法，于是写信给他的好朋友、著名数学家汉密尔顿爵士求教，但直到汉密尔顿于1865年去世，这个问题还是无法解决。
1872年，当时英国最著名的数学家凯利正式向伦敦数学会提出了这个问题，于是四色猜想成为世界数学界的关注点，世界上许多一流的数学家相继参加了四色猜想的大会战。
从那以后，这个问题就在一些人中间流传开来。当时，角三等分与广场的和谐问题已经在社会上“臭名昭著”，“四色瘟疫”已经悄然蔓延。在1878到1880的两年间，阿尔弗雷德·肯普和彼得·格思里·泰特两位著名的律师和数学家分别提交了证明四色猜想的论文，并宣布证明了四色定理。
大家都以为四色猜想从此解决了，但实际上坎普并没有证明四色问题。11年后，也就是1890年，年仅29岁、就读于牛津大学的赫伍德用自己的精确计算指出了坎普证明中的漏洞。他指出，坎普提出的没有最小五色地图的国家不可能有五个邻国的理由是有缺陷的。很快泰勒的证明也被否定了。人们发现他们其实证明了一个弱命题——五色定理。也就是说，给地图涂上五种颜色就够了。
然而，令数学家满意的是，霍华德并没有完全否定坎普论文的价值。利用坎普发明的方法，霍华德证明了弱五色定理。这就相当于用一记闷棍打了坎普，表扬了他。总的来说，贬义大于褒义。我不知道可怜的坎普的律师是什么感觉。刨根问底是数学家的天性。一方面五种颜色足够，另一方面也确实有例子说明三种颜色不够。那么四种颜色够了吗？这就像一个淘金者，知道某个地方有很多金矿，却只挖出一块银。你觉得他愿意这样回去吗？坎普用归谬法证明了这一点，大意是:如果有一个正则五色地图，就会有一个国家数最少的“极小正则五色地图”。如果极小正则五色图中有一个邻国少于六个的国家，那么就会有一个国家较少的正则图仍然是五色的，所以就不会有极小五色图的国家，也就不会有正则五色图。于是坎普以为自己证明了“四色问题”，但后来人们发现他错了。
但是，肯普的证明澄清了两个重要概念，为以后解决问题提供了一个思路。第一个概念是“配置”。他证明了在每个正则图中，至少一个国家有两个、三个、四个或五个邻国，不存在每个国家都有六个或更多邻国的正则图。也就是说，一组由两个邻国、三个邻国、四个或五个邻国组成的“配置”是不可避免的，每张地图至少包含这四种配置中的一种。
坎普提出的另一个概念是可还原性。“可协商”一词的使用来自坎普的论证。他证明了五色地图中只要有一个国家有四个邻国，就会有一个国家较少的五色地图。自从“构形”和“可约性”的概念被提出以来，一些检验构形以确定它们是否可约的标准方法逐渐被发展起来，可以找到可约构形的必然群，这是证明“四色问题”的重要基础。但是要证明一个大的配置是可约的，需要查很多细节，相当复杂。人们发现四色问题出奇的难。很多人发表过四色问题的证明或反例，但都被证明是错误的。后来，越来越多的数学家为此绞尽脑汁，却一无所获。于是，人们开始意识到，这个看似简单的题目，其实是一个堪比费马猜想的难题。自20世纪以来，科学家们基本上是按照肯普的想法证明四色猜想的。
四色定理的本质是平面或球面上不能有五个或五个以上成对相连的区域。如果有五个以上成对连接的区域，则第五个区域至少与一个区域颜色相同。这个理论在其他构造中也很明显，比如在torus(亏格为1)上，需要七种颜色，因为torus不能构造八个成对连接的区域。亏格为2的双环曲面上，需要8种颜色，即9个区域不能成对连接。
1913、美国著名数学家、哈佛大学boekhoff利用了Kemp的思想，结合了他的新思想；证明了一些大的构形是可约的。后来美国数学家富兰克林在1939中证明了22个国家以下的地图可以用四种颜色着色。1950年，Winn从22个国家晋级到35个国家。1960中证明了39个国家以下的地图只用四种颜色就可以着色；然后推进到50个国家。看来这个进度还是很慢的。高速数字计算机的发明促使更多的数学家研究“四色问题”。电子计算机出现后，由于计算速度的快速提高和人机对话的出现，四色猜想的证明过程大大加快了。1976年6月，在美国伊利诺伊大学两台不同的电子计算机上，花了1200小时，做出了1000亿的判断。结果没有一张地图需要五种颜色，最终证明了四色定理，引起了世界轰动。
这是100多年来吸引了众多数学家和数学爱好者的一件大事。当两位数学家发表他们的研究成果时，当地邮局给当天寄出的所有邮件盖上了“四种颜色就够了”的特别邮戳，以庆祝这一难题的解决。虽然随着计算机的普及，大部分数学家对四色定理的证明已经毫无疑问，但仍有部分数学家不满足于计算机辅助证明，希望找到一种完全“人工”的证明。正如汤米·詹森(Tommy R Jensen)和比亚尼·托夫特(Biyani tofte)在《图着色问题》(Graph Coloring Problem)一书中所提出的那样，“有没有一个四色定理的简短证明，一个合格的数学家可以在比如说两周内验证它的正确性？”
四色定理的“证明”定义也需要重新审视。还有人把计算机辅助证明和传统证明的区别比作用天文望远镜发现新星和用肉眼发现新星的区别。计算机证明还没有得到数学界的普遍认可。许多数学家不满足于计算机取得的成就。他们认为应该有一个简单明了的书面证明方法来证明四色问题。