现代代数的发展史

抽象代数是研究各种抽象公理代数系统的数学学科。因为代数可以处理实数和复数以外的对象集，比如向量、矩阵超数、变换等。，这些对象集合的差异取决于各自的微积分规律，数学家们通过抽象的方法将个别微积分的共同内容升华，从而达到更高的层次，由此诞生了抽象代数。抽象代数包括群论、环论、伽罗瓦论、格论、线性代数等许多分支。，并与其他数学分支相结合，产生代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成为当代大多数数学的通用语言。

伽罗瓦(1811-1832)被誉为天才数学家，是近代代数的奠基人之一。他深入研究了一个方程可以用根求解的本质条件，他的《伽罗瓦域》、《伽罗瓦群》、《伽罗瓦理论》是近代代数研究的最重要的课题。伽罗瓦群论被公认为19世纪最杰出的数学成就之一。他对方程的可解性问题提供了全面彻底的解答，解决了困扰数学家几百年的难题。伽罗瓦群论也给出了用直尺和圆规能否画出几何图形的一般判断方法，圆满地解决了平分任意角或立方体不可解的问题。最重要的是，群论开辟了一个全新的研究领域，用结构研究代替了计算，改变了从强调计算研究到运用结构概念研究的思维方式，对数学运算进行了分类，使群论迅速发展成为一个全新的数学分支，对近代代数的形成和发展产生了重大影响。汉密尔顿发明了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。第二年，格拉斯曼又推导出了几个更一般的代数。1857年，Gloria设计了另一种非交换代数——矩阵代数。他们的研究打开了抽象代数(也叫现代代数)的大门。事实上，通过弱化或删除普通代数的某些假设，或者用其他假设(与其余假设兼容)代替某些假设，可以研究多种代数系统。

在1870中，Kronick给出了有限阿贝尔群的抽象定义。戴德金德开始使用“体”这个术语，研究代数体；1893，韦伯定义抽象体；1910年，斯坦尼兹发展了身体的一般抽象理论；戴德金德和克罗尼克创立了环的理论；1910年，Steinitz总结了包括群、代数、域在内的代数系统的研究，开创了抽象代数。

有一位杰出的女数学家，被公认为抽象代数的奠基人之一，被誉为代数女王。她就是诺特，1882年3月23日出生于德国赫勒姆，1900年进入埃尔兰根大学，1907年在数学家戈丹的指导下获得博士学位。

诺特的工作对代数拓扑、代数数论和代数几何的发展有重要影响。在1907-1919中，她主要研究了代数不变量和微分不变量。在她的博士论文中，她给出了三元四次型的一整套不变量。也解决了有理函数域中有限有理基的存在性问题。给出了有限群的不变量有有限基的构造性证明。她使用直接微分而不是消去法来生成微分不变量。她在哥廷根大学的就职论文中，讨论了连续群(李群)下的不变量，给出了诺特定理，将物理学的对称性、不变性和守恒定律联系起来。

从1920到1927，她主要学习交换代数和交换算术。1916之后，她开始从古典代数过渡到抽象代数。在1920中，她引入了“左模”和“右模”的概念。写于1921 < & lt；整环的理想理论>:>是交换代数发展的里程碑。建立了交换noetherian环理论，证明了准素分解定理。发布于1926:& gt；给出戴德金环的一个公理化刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充要条件。诺特的理论也是现代数学中“环”和“理想”的系统理论。一般认为抽象代数的时间是1926。从此，代数的研究对象从研究代数方程的计算和分布，转变为研究数、词以及更一般元素的代数运算规则和各种代数结构，从而完成了从经典代数到抽象代数的本质转变。诺特是当之无愧的抽象代数的创始人之一。

在1927-1935中，诺特研究了非交换代数和非交换算术。她把表象论、理想论、模论统一在所谓的“超复数系统”即代数的基础上。后来，叉积的概念被引入，并被用来确定有限维苍洛瓦展开的布劳尔群。最后引出代数主要定理的证明。代数数域中的中心可除代数是循环代数。通过她的学生范·德·瓦尔登的杰作& gt被广泛传播。她的主要论文是《in & gt(1982).

1930年，Bierhoff建立了格论，格论起源于1847年的布尔代数；第二次世界大战后，出现了各种代数系统理论和布尔巴基学派。1955年，加当、Glosindick和Allan Burke建立了同调代数理论。

数学家们研究了200多种这样的代数结构，其中最重要的是Jordan代数和Lie代数，它们是不遵守结合律的代数的例子。这些作品大多属于20世纪，充分体现了现代数学中的概括和抽象的思想。

中国数学家在20世纪30年代开始研究抽象代数。在许多方面都取得了有意义的重要成果，特别是曾炯之、华和周维良的工作。