三次数学危机

陈

摘要:数学的发展从来都不是完全线性的，而是经常出现悖论。一系列历史事件

数学悖论动摇了人们对数学可靠性的信念，数学史上出现过三次数学危机。数学悖论和危机的出现不仅给数学带来了麻烦和失望，也给数学的发展带来了新的活力和希望，促进了数学的繁荣。危机产生、解决、生成的无止境的反复过程不断推动着数学的发展，这也是数学思想重要发展的过程。

关键词:数学悖论；数学危机；毕达哥拉斯悖论；贝克勒悖论；罗素的悖论

数学一直被认为是一门严谨、和谐、精确的学科。纵观数学发展史，数学的发展从来都不是完全线性的，其体系也不总是和谐的，而是经常出现悖论。悖论是指两个矛盾命题在一定的理论体系和合理的推理原则基础上的推导，或者这样一个复合命题的证明，表示为两个矛盾命题的等价[1]。数学理论中的数学悖论的发展是一件严肃的事情，因为它直接导致人们对相应的理论产生怀疑，而如果一个悖论涉及的范围很广，甚至是整个学科的基础，这种怀疑就可能发展成一种普遍的危机感，特别是一些重要悖论的出现，自然会引起人们对数学基础的怀疑，动摇对数学可靠性的信念。数学史上出现过三次数学危机，每次都是由一两个典型的数学悖论引起的。回顾了历史上的三次数学危机，着重介绍了三次数学危机在数学发展中的重要作用。

1毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机

1.1第一次数学危机的内容

公元前6世纪，统治古希腊学术界的毕达哥拉斯学派被视为当时绝对权威的真理。毕达哥拉斯学派提倡一种哲学观点，叫做“命理学”，他们认为宇宙的本质是数的和谐[2]。他们认为一切都是数，数只有两种，即正整数和可约数(即分数，两个整数之比)，没有其他数，也就是说世界上只有整数或分数。

勾股学派在数学上的一大贡献就是证明了勾股定理[3]，也就是我们所说的勾股定理。勾股定理指出直角三角形的三条边应具有以下关系，即a2=b2+c2，A和B分别代表直角三角形的两条右边，C代表斜边。

然而，没过多久，毕达哥拉斯学派的一名学生赫柏斯很快就发现了这一论断的问题。他发现等边正方形的对角线长度不能用整数或整数的比值来表示。假设一个正方形的边长为1，对角线长为D，根据勾股定理，d2=12+12=2，即d2=2，那么D是什么？显然d不是整数，所以一定是两个整数的比值。Hebers花了很多时间寻找这两个整数的比值，但是没有找到。而是他找到了两个数不可通约的一个证明[4]，用反证法证明如下:设Rt△ABC和两直角边为a=b，则c2=2a2从毕达哥拉斯定理出发，设A和C中的公约数被约化，即A和C互为素数，所以C是偶数，A .这个发现在历史上被称为毕达哥拉斯悖论。

1.2第一次数学危机的影响

毕达哥拉斯悖论的出现对毕达哥拉斯学派造成了沉重的打击。“数就是一切”的世界观受到了极大的动摇，有理数的尊崇地位也受到了挑战，从而影响了整个数学的基础，造成了数学界极端的思想混乱，被称为历史上第一次数学危机。

第一次数学危机的影响是巨大的，极大地促进了数学及其相关学科的发展。首先，第一次数学危机让人们第一次意识到无理数的存在，无理数诞生了。后来许多数学家正式研究无理数，给出了严格的无理数定义，提出了一个新的数范畴——实数，建立了完整的实数理论[5]，为数学分析的发展奠定了基础。再者，第一次数学危机表明，直觉和经验不一定可靠，推理证明才可靠。从此，希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公理体系。为了消除矛盾，缓解危机，欧几里德几何在此时应运而生[6]。第一次数学危机极大地促进了几何学的发展，在接下来的两千年里，几何学成为几乎所有严谨数学的基础。这是数学思想史上的一次伟大革命。

2贝克勒悖论和第二次数学危机

2.1第二次数学危机的内容

17世纪，牛顿和莱布尼茨创立了微积分。微积分可以提示和解释许多自然现象，它在自然科学的理论研究和实际应用中的重要作用引起了人们的极大关注。但由于微积分刚刚建立，此时的微积分只有方法，没有严格的理论作为依据，很多地方存在漏洞，无法自圆其说。

比如牛顿这样求函数y = xn的导数[7]: (x+△ x) n = xn+n？xn-1？△x+[n(n+1)/2]？xn-2？(△x) 2+…+(△ x) n，然后用自变量的增量△x除以函数的增量△y，△ y/△ x = [(x+△ x) n-xn]/△ x = n？xn-1+[n(n-1)/2]？xn-2？△x+……+n？x？(△x) n-2+(△ x) n-1最后，扔掉包含无穷小△x的项，即函数y=xn的导数为y'=nxn-1。

哲学家贝克勒很快在牛顿关于导数求导过程的论述中发现了问题。他一针见血地指出，先把△x除以△y，说明△x不等于零，再扔掉包含△x的项，说明△x等于零。这不是自相矛盾吗？因此，贝克勒嘲讽无穷小是“失量的幽灵”，他认为微积分是通过双重错误才得到正确的结果，并称微积分的推导是“明显的诡辩”。[8]这就是著名的“贝克勒悖论”。

的确，在同一个问题的讨论中，所谓的无穷小有时被视为0，有时又与0不同，这是值得怀疑的。无穷小到底是不是零？无穷小及其分析是否合理？贝克勒悖论的出现危及了微积分的基础，并在数学界引起了长达两个多世纪的争论，从而形成了数学发展史上的第二次危机。

2.2第二次数学危机的影响[8]

第二次数学危机的出现，迫使数学家们认真对待无穷小△x。为了克服由此带来的困惑，解决这场危机，无数人投入了大量的劳动。一开始，通过欧拉、拉格朗日等人的努力，微积分取得了一些进展；自19世纪以来，柯西、维尔斯特拉斯等人为了彻底解决微积分的基本问题，使微积分理论变得严密。微积分中的根本矛盾是如何用数学和逻辑的方法表达无穷小，从而表达与无穷小密切相关的微积分本质。在解决无穷小的数学化问题时，出现了罗必达公理:如果一个量增加或减少另一个与之相比是无穷小的量，可以认为是不变的。柯西的ε-δ法描述无穷小，将无穷小定义为以0为极限的变量。到现在，无穷小已经被极限代替了。后来Wilstrass将其澄清，给出了严格的极限定义，建立了极限理论，从而使微积分建立在极限的基础上。极限的ε-δ定义是用静态的ε-δ来描述动态的极限，用有限来描述无限的过程。它是从有限到无限的桥梁和路标，表明了有限与无限的关系，使微积分向科学和数学迈进了一大步。极限理论的建立加速了微积分的发展，它不仅在数学上，而且在认识论上都具有重要意义。后来在考察极限理论的基础上，经过德德金、康托尔、海涅、维尔斯特拉斯、巴门海默的努力，产生了实数理论。在考察实数理论的基础时，康托尔创立了集合论。这样，有了极限论、实数论、集合论三大理论，微积分就可以建立在一个相对稳定和完善的基础上，从而结束了200多年来混乱的争论局面，开辟了下个世纪函数论的发展道路。

3罗素悖论和第三次数学危机

3.1第三次数学危机的内容

在前两次数学危机解决后不到30年，也就是19年的70年代，德国数学家康托尔创立了集合论，这是数学中最具革命性的理论，初衷是为整个数学大厦打下坚实的基础。1900年，在巴黎举行的国际数学家大会上，伟大的法国数学家庞加莱激动地宣布[9]:“我们现在可以说数学已经达到了绝对的严格性。”然而，在人们为集合论的诞生欢欣鼓舞的同时，一系列的数学悖论也随之出现，困扰着数学家们的心灵。其中，英国数学家罗素1902提出的悖论影响最大。“罗素悖论”的内容如下:设集合B是所有不是自身元素的集合的集合，问:B是否属于B？如果b属于b，那么b是b的一个元素，所以b不属于自身，即b不属于b；另一方面，如果B不属于B，那么B不是B的一个元素，所以B属于它自己，也就是B属于B .这样，利用集合的概念，罗素导出了集合B不属于B的悖论当且仅当集合B属于B .后来，罗素自己提出了罗素悖论的通俗版本，即巴伯悖论[10]。理发师宣布了一个原则，他只给村里自己不刮胡子的人刮胡子。所以现在的问题是，理发师的胡子应该由谁来剃？。如果他自己刮胡子，那么他就是村里刮胡子的人。按照他的原则，他不应该自己刮胡子。如果他自己不刮胡子，那他就是村里不刮胡子的人，然后他要按照自己的原则刮胡子。还有一个悖论:当且仅当理发师不刮胡子时，他才刮胡子。这就是历史上著名的罗素悖论。罗素悖论的出现动摇了数学的基础，震惊了整个数学领域，导致了第三次数学危机。

3.2第三次数学危机的影响

罗素悖论的出现动摇了原本是整个数学大厦基石的集合论，自然引起人们对数学基本结构有效性的怀疑。罗素悖论的高明之处在于，它只使用了集合本身的概念，不涉及其他概念，这就让人更加无法解决。罗素悖论引发的第三次数学危机，让数学家们面临极大的困难。

数学家弗雷格在《数学基础》第二卷的结尾写道[11]:“对于一个科学家来说，没有什么比当他的工作刚刚完成时，它的一块基石倒塌了更令人失望的了。当这本书的印刷即将完成时，罗素先生的一封信把我置于这种境地。”可见第三次数学危机让人们面临了多么尴尬的局面。然而，没有人会回避科学，数学家们立即投身于消除悖论的工作。幸运的是，罗素悖论的根源很快就被找到了。原来，康托尔在提出集合论时，并没有对“集合”这一概念进行必要的限制，从而构造出庞大到产生悖论的“所有集合的集合”。

许多数学家为消除集合论中的各种悖论，尤其是罗素悖论进行了不懈的努力。比如以罗素[12]为代表的逻辑主义学派，提出了类型论以及后来的曲折论、有限大小论、无阶级论、分叉论等，都起到了一定的消除悖论的作用；最重要的是德国数学家泽梅洛提出的集合论公理化。泽梅洛认为适当的公理系统可以限制集合的概念，并在逻辑上保证集合的纯粹性。他首先提出了集合论的公理系统，后来由兰克尔资助，冯？诺依曼等人的补充形成了一个完整的集合论公理系统(ZFC系统)[5]。在ZFC体系中，“集合”和“归属”是两个没有定义的原始概念，有十个公理。随着ZFC体系的建立，避免了各种矛盾，从而消除了以罗素悖论为代表的一系列集合悖论，第三次数学危机消失了。

悖论虽然消除了，但数学的确定性却在一步步丧失。现代公理集合论中的很多公理很难说哪个是真的哪个是假的，但是不能排除。它们与整个数学息息相关，所以表面上解决了第三个危机，本质上以其他形式继续[7]。为了消除第三次数学危机，数理逻辑也取得了巨大的进步。证明论、模型论、递归论相继诞生，基础数学理论、类型论、多值逻辑出现。可以说，第三次数学危机极大地促进了基础数学研究和数理逻辑的现代性，从而直接造成了数学哲学研究的“黄金时代”。

4结论

历史上的三次数学危机给人们带来了巨大的困扰。危机的出现使人们意识到现有理论的缺陷。科学中悖论的出现往往预示着人类的认识将进入一个新的阶段，所以悖论是科学发展的产物，也是科学发展的源泉之一。第一次数学危机使人们发现了无理数，建立了完整的实数理论。欧几里得几何也应运而生，建立了几何公理体系。第二次数学危机的出现，直接导致了极限论、实数论、集合论三大理论的产生和完善，使微积分有了坚实完善的基础。第三次数学危机使集合论成为一个完整的集合论公理体系(ZFC体系)，促进了数学的基础研究和数理逻辑的现代性。

数学发展的历史表明，数学基础的深入研究、悖论的产生和危机的相对解决之间存在着密切的关系。每一次危机的消除，都会给数学带来许多新的内容、新的认识，甚至革命性的变化，使数学体系达到新的和谐，数学理论得到进一步的深化和发展。悖论的存在，反映了在一定的历史阶段，数学概念和原理会出现很多矛盾，从而引发人们的质疑和危机感。但事物都是在不断产生矛盾和解决矛盾的过程中逐渐发展和完善的。旧的矛盾解决了，新的矛盾就会产生，在这个过程中，人们会不断积累新的认识，新的知识，发展新的理论。数学家对悖论的研究和解决促进了数学的繁荣和发展。数学中悖论和危机的出现不仅给数学带来了麻烦和失望，也给数学的发展带来了新的活力和希望。

数学中的悖论和危机的历史也说明了这一点:已有的悖论和危机被消灭了，新的悖论和危机又出现了。但人的认识是发展的，悖论或危机迟早是可以解决的。“产生悖论和危机，然后试图解决它们，然后产生新的悖论和危机。”这是一个无止境的反复过程，不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想重要发展的过程。

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