从数学的发展史来看，各个阶段数学的研究对象是什么？
1.数学的萌芽时期(公元前600年前)；
2.初等数学时期(公元前600年至17世纪中期)；
3.变量数学时期(17世纪中期至19世纪20年代)；
4.现代数学时期(65438+1920年代至二战)；
5.现代数学时期(20世纪40年代以来)
数学萌芽时期，数学经过长时间的萌芽，在产生的基础上积累了丰富的关于数和形的感性认识。公元前6世纪，希腊几何学的出现成为第一个转折点。从此，数学从具体的、实验的阶段转变为抽象的、理论的阶段，初等数学建立起来了。之后经过不断的发展和交流，最终形成了几何、算术、代数、三角学等独立学科。世界上最古老的国家都位于大河流域:黄河流域的中国；尼罗河下游的埃及；位于幼发拉底河和底格里斯河的巴比伦尼亚；印度的印度河和恒河。这些国家都是在农业的基础上发展起来的，所以必须掌握四季气候变化的规律。
目前对古巴比伦数学的了解主要是基于巴比伦泥板。这些数学泥板表明，巴比伦尼亚在公元前2000年左右开始使用60进制记数法进行更复杂的计算，出现了60进制小数，其计算规则与整数相同。已经有关于倒数、乘法、平方、立方、平方根、立方根的表格；借助于倒数表，除法经常被转换成乘法进行计算。巴比伦数学具有算术和代数的特点，几何只是表达代数问题的一种方式。这个时候，没有数学理论。对古埃及数学的理解主要是基于两卷草书。从这两卷文献中可以看出，古埃及采用的是10的记数制。埃及人的数学兴趣在于丈量土地，而几何问题大多是丈量，涉及田地的面积、谷仓的体积以及金字塔的简单计算方法。但由于这些计算方法是为了解决尼罗河洪水后的土地勘测、粮食分配、容量计算等日常生活中必须解决的问题而构思的，因此不存在从理论上推导公式、定理和证明的倾向。埃及数学的主要用途之一是天文学研究，在天文学研究中也得到了发展。由于地理位置和自然条件，古希腊受到埃及、巴比伦等古文明的影响，成为欧洲最早创造文明的地区。
希腊数学是辉煌的。第一个时期开始于公元前6世纪，结束于公元前4世纪。泰勒斯在希腊开始了命题的逻辑证明和数学的大发展。公元前5世纪，埃利亚学派的芝诺提出了关于运动的四个悖论。柏拉图强调几何在培养逻辑思维能力中的重要作用，亚里士多德则建立了形式逻辑，并将其作为证明的工具。德谟克里特斯认为几何量是由许多不能再分的原子组成的。第二个时期是公元前4世纪末至公元1世纪，学术中心从雅典转移到亚历山大，故称为亚历山大时期。这期间出了很多高水平的数学手稿，一直流传至今。公元前3世纪，欧几里得写出了平面几何、比例论、数论、无理数论、立体几何的原著，第一次把几何学建立在演绎体系上，成为数学史乃至思想史上划时代的杰作。后来阿基米德将抽象的数学理论与具体的工程技术相结合，根据力学原理探索几何图形的面积和体积，奠定了微积分的基础。阿波罗尼写了《圆锥曲线》一书，成为后来研究这个问题的基础。公元1世纪，海伦写了《测量》等书，用具体的数字来解释求积法。公元二世纪的托勒密完成了当时数学天文学的杰作《数学汇编》，并结合天文学研究了三角学。在第三世纪，丢番图写了算术，它使用缩写来解决不定方程和其他问题。它对数学发展的影响仅次于几何学。希腊数学中最杰出的三项成就——欧几里得的几何、阿基米德的穷举法和阿波罗尼的圆锥曲线理论——表明当时数学的主要部分——算术、代数和几何已经基本确立。
罗马人征服了希腊，摧毁了希腊文化。公元前47年，罗马人烧毁了亚历山大图书馆，两个半世纪收集的藏书和50万份手稿付之一炬。
从5世纪到15世纪，数学发展的中心转移到东方的印度、中亚、阿拉伯国家和中国。在这1000年里，数学发展迅速主要是因为计算的需要，尤其是天文学的需要。古希腊的数学重视抽象、逻辑和理论，强调数学是认识自然的工具，重点是几何。中国古代和印度数学强调具体、经验和应用，数学是支配自然的工具，强调算术和代数。
印度数学也是世界数学的重要组成部分。数学作为一门学科已经建立和发展起来。印度数学受婆罗门教影响很大，此外还有希腊、中国和近东数学，尤其是中国。
此外，阿拉伯数学也起着重要的作用。阿拉伯人在印度改进了计数系统，“代数”的研究对象被定义为方程理论。让几何从属于代数，不重视证明；通过引入正切、余切、割线、余切等三角函数，制作了精确的三角函数表，发现了平面三角形和球面三角形的一些重要公式，使三角学从天文学中独立出来。
在中国，春秋战国时期已经广泛使用计算，并使用了十进制记数法，这对世界数学的发展具有划时代的意义。这一时期，计量数学在生产中得到广泛应用，数学也相应得到提高。战国时期百家争鸣也促进了数学的发展。秦汉时期是封建社会的上升期，经济和文化都发展迅速。中国古代数学体系形成于这一时期，其主要标志是算术成为一门专门学科，以《九章算术》为代表的数学著作的出现。
《九章算术》是对战国秦汉封建社会建立和巩固时期数学发展的总结。就其数学成就而言，堪称世界著名的数学著作。魏晋时期赵双、刘徽的工作，奠定了中国古代数学体系的理论基础。刘辉用无限除法证明了直角方锥与直角四面体的体积比始终为2:1，解决了一般立体体积的关键问题。在证明方锥、圆柱、圆锥、锥台体积时，刘辉提出了完整求解球体体积的正确方法。从那以后，中国的数学在秦九韶、祖冲之、郭守敬和程大伟等数学家的推动下得到进一步发展。
在西欧历史上，中世纪的黑暗在一定程度上阻碍了数学的发展。欧洲的文艺复兴始于15世纪，进一步发展了欧洲数学。15世纪的数学活动集中在算术、代数和三角学上。缪勒的巨著《三角形百科全书》是欧洲人对平面和球面的第一次系统阐述，它独立于天文学之外。16世纪，塔塔格里亚发现了三次方程的代数解，接受负数，使用虚数。16世纪最伟大的数学家是大卫，他写了许多关于三角学、代数和几何的著作，其中最著名的《分析方法导论》改进了符号，极大地改变了代数。史蒂文创造了小数。17世纪初，对数的发明是初等数学的一大成就。1614年，奈普尔开创了对数，1624年，布里格斯引入了对数，相当于现在常见的对数，从而使计算方法向前迈进了一大步。至此，初等数学的主要部分——算术、代数和几何都已形成并成熟。
变量数学时期为17世纪中期至19世纪20年代。这一时期数学研究的主要内容是量变和几何变换。这一时期的主要成就是解析几何、微积分、高等代数等学科。
17世纪是一个开创性的世纪。本世纪发生了三件对数学有重大意义的大事。首先是伽利略实验数学方法的出现，它显示了数学与自然科学的新结合。其特点是在所研究的现象中找出一些可测量的因素，应用数学方法研究这些量的变化规律。第二个重要事件是笛卡尔的重要著作《论方法》及其附录《几何》于1637年出版。它引入了动点坐标、变量和函数的概念。因为有了坐标，平面曲线和二元方程之间的关系就建立起来了，从而产生了一门新的学科——解析几何，用代数的方法研究几何。这是数学的转折点，也是变量数学发展的第一个决定性步骤。第三个重要事件是微积分的建立，最重要的工作是由牛顿和莱布尼茨独立完成的。他们认识到微分和积分实际上是一对逆运算，从而给出了微积分的基本定理，即牛顿-莱布尼茨公式。17世纪的数学发生了许多深刻而明显的变化。在数学活动的范围上，数学教育扩大了，从事数学工作的人数迅速增加，数学著作广泛传播，各种社团纷纷成立。在数学的传统方面，从对形式的研究到对数的研究，代数占据了主导地位。在数学的发展趋势中，科学数学化的进程开始了。力学的数学化最早出现，以牛顿在1687年写的《自然哲学的数学原理》为代表。从三大定律出发，通过数理逻辑推理，力学定律不可避免地被一一引申。18世纪，三角学、解析几何、微积分、数论、方程论等数学各门学科迅速发展。19的20世纪20年代出现了一项伟大的数学成果，将微积分的理论基础牢固地建立在极限的概念上。柯西在1821《分析教程》一书中发展了可接受极限理论，然后非常严格地定义了函数的连续性、导数和积分，强调了研究级数收敛性的必要性，给出了正项级数的根判别法和积分判别法。这一时期，非欧几何的出现成为数学史上的一件大事，改变了人们只存在欧几何的看法。其革命性的思想不仅为新几何铺平了道路，也是20世纪相对论产生的前奏和准备。这时，人们发现了正确的几何——非欧几何，它不同于通常的欧几何。非欧几何引起的思想解放对现代数学和科学意义重大，因为人类终于开始突破感官的局限，深入到更深层的自然。黎曼和与罗巴切夫斯基对非欧几何的发现做出了巨大贡献。黎曼普及了空间的概念，创造了更广阔的几何领域——黎曼几何。后来汉密尔顿发现了一个代数——四元数代数，其中乘法交换律不成立。非交换代数的出现改变了人们的看法，即拥有一个不同于普通算术代数的代数是不可想象的。其革命性的思想打开了现代代数的大门。另一方面，由于对一元方程求根条件的探索，引入了群的概念。从20世纪20年代到30年代，阿贝尔和伽罗瓦开创了现代代数的研究。这时代数的研究对象扩展到向量、矩阵等等，逐渐转向代数系统结构本身的研究。19世纪，发生了第三个影响深远的数学事件:分析的算术化。在1874中，Wilstrass提出了一个著名的思想，叫做“分析的算术”。首先要严格定义实数系本身，然后所有分析的概念都要从这个数系中推导出来。19世纪后期，由于戴德金德、康托尔和皮亚诺的工作，这些数学基础已经建立在一个更简单、更基本的自然数系统上。
从20世纪40年代到50年代，世界科学史上发生了三件惊天动地的大事，即原子能的利用、电子计算机的发明和航天技术的兴起。此外，还出现了许多新情况，促使数学发生了剧变。1945年第一台电子计算机诞生后，由于应用广泛，影响巨大，围绕它自然形成了一门庞大的科学。计算机的出现促进了数学的发展，数学分为三个领域:纯数学、计算机数学和应用数学。现代数学虽然呈现出多姿多彩的局面，但其主要特征可以概括为:(1)数学的对象和内容在深度和广度上都有了很大的发展，分析、代数和几何的思想、理论和方法发生了巨大的变化，数学不断分化和综合的趋势在加强。(2)电子计算机进入数学领域产生了巨大而深远的影响。(3)数学已经渗透到几乎所有的科学领域，并发挥着越来越重要的作用。纯数学一直在深入发展，数理逻辑和数学基础成为整个数学大厦的基础。