16勾股定理的证明方法
勾股定理:在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即在A和B为直角边，C为斜边的三角形中，有一个2+B ^ 2 = C ^ 2。
方法
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证据1(邹的证明):
做四个全等的三角形，A和B为直角边，C为斜边，如下图所示拼在一起使A，E，B共线，B，F，C共线，C，G，D共线。
∵Rt△HAE≌Rt△EBF
∴∠AHE=∠BEF
∠∠AHE+∠AEH = 90
∴∠BEF+∠AEH=90
∵A，E，B共线。
∴∠ Hef = 90，四边形EFGH是正方形。
因为上图中的四个直角三角形全等，所以很容易得出四边形ABCD是正方形。
正方形ABCD的∴面积=四个直角三角形的面积+正方形EFGH的面积
∴(a+b)^2=4？(1/2)?Ab+c 2，整理a 2+b 2 = c 2。
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证明方法二(教材证明):
如上图所示，边长为a+b的两个正方形的面积相等，
所以a 2+b 2+4？(1/2)?ab=c^2+4？(1/2)?Ab，所以A 2+B 2 = C 2。
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证明3(赵爽的弦图证明):
做四个全等的三角形，A和B为直角，C为斜边，按下图所示拼在一起。
容易得到四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形。
正方形ABCD的∴面积=四个直角三角形的面积+正方形EFGH的面积
∴c^2=4？(1/2)?Ab+(b-a) 2，整理a 2+b 2 = c 2。
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证书四(总统证书):
如下图所示。
容易得到△CDE是等腰直角三角形。
梯形ABCD的∴面积=两个直角三角形的面积+一个等腰三角形的面积。
∴1/2?(a+b)？(a+b)=2？(1/2)?ab+(1/2)？C 2，整理到A 2+B 2 = C 2。
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证明5(梅文鼎证明):
做四个全等的三角形，A和B为直角，C为斜边，如下图所示拼在一起，使DEF在同一条直线上。过C点时，CI垂直于DF，DF过I点..
四边形阿贝格、四边形CBDI和四边形FGHI都是正方形。
多边形的∴面积EGHCB =正方形ABEG的面积-两个直角三角形的面积。
而多边形的面积EGHCB =正方形CBDI的面积+正方形FGHI的面积-两个直角三角形的面积。
正方形ABEG的∴面积=正方形CBDI的面积+正方形FGHI的面积
∴c？=a？+b？
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证明6(向明达的证明):
做两个全等的三角形，A和B为直角，C为斜边，做一个边长为C的正方形，如下图所示把它们放在一起，使E，A，C在同一条直线上。
QP⊥AC在q点，AC在p点
分别通过F和B的垂直线段为QP，交点分别为M和N。
四边形ABQF是正方形。
利用全等三角形的判定定理，可以得到角边。
△AEF≔△QMF≔△BNQ，那么问题就转化为梅文鼎证明了。
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证明7(欧几里德证明):
在一个直角为A和B，斜边为C的直角三角形中，分别用边A、B和C做正方形，如下图所示。连接FB和CD，过c点，在e点做CN⊥DE，在m点做AB
∵af=ac,ab=ad,∠fab=∠cad,∴△fab≌△cad(sas)
而delta的面积△FAB = delta的面积=△CAD =(？)?交流正弦(90 +∠CAB)=()a？
∫△CAD和直角AMND底高相等。
∴矩形AMND的面积是δ△CAD的两倍，即a？
同理，矩形BMNE的面积是b？
平方ADEB的面积=矩形AMND的面积+矩形BMNE的面积
∴c？=a？+b？
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证明8(相似三角形性质证明)
如下图，在直角三角形ABC，AC=b，BC=a，AB = C，∠ACB = 90°中，取C点为垂直于AB的CD，D点与AB相交。
∠∠BDC =∠BCA = 90度，∠B=∠B
∴△BDC∽△BCA
∴BD∶BC=BC∶BA
∴BC？=BD？钡
用同样的方法可以得到AC吗？=AD？AB型血
∴BC？+AC？=BD？BA+AD？AB=(BD+AD)？AB=AB？，也就是一个？+b？=c？
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证据9(杨作梅的证明):
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边为A和B(B >；a)做一个斜边长为c，边长为c的正方形，如下图所示拼写。过a点是AG⊥AC，在g点过DF，在h点过AG..b是BI⊥AG，竖脚是I点。过E点，EJ垂直于CB的延长线，垂足为j点，EJ在K点穿过AG，在l点穿过DB
∠∠BAE = 90∠GAC = 90 ∴∠eak=∠bac
∵GA⊥AC,BC⊥AC
∴GA∥BC
∵EJ⊥BC
∴EJ⊥GA
∴∠eka =∠c = 90°且AE = AB = C
∴△EAK≌△BAC(AAS)
∴EK=a,KA=b
很容易得出四边形BCAI是一个矩形。
∴AI=a,KI=b-a
∫△BAC≔△EDF
∴△EAK≌△EDF
∴∠FED=∠KEA
∴∠FEK=90
∴四边形EFGK是正方形，而四边形DGIB是直角梯形。
如果面积的数字用数字表示(如图)，边长为C的正方形的面积为
c？=S1+S2+S3+S4+S5 ①
∵S8+S3+S4=？【b+(b-a)】？[a+(b-a)]
=b？-?ab，S5=S8+S9
∴S3+S4=b？-?ab-S8=b？-S1-S8②
把②代入①得到。
c？=S1+S2+b？-S1-S8+S8+S9
=b？+S2+S9
=b？+a？
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方法10(李锐的证明):
设直角三角形的两个直角的长度为a和b(b >；a)、斜边的长度为c .做边长为a、b、c的三个正方形，按下图拼在一起，使AEG三点共线，q点为GM⊥AG，交点为m，面积数用数字表示。
∠∠TBE =∠ABH = 90
∴∠TBH=∠EBA
∵∠T=∠BEA=90，BT=BE=b
∴△HBT≌△ABE(ASA)
∴HT=AE=a,GH=GT-HT=b-a
∠GHF+∠BHT=90，∠TBH+∠BHT=90
∴∠GHF=∠TBH=∠DBC
∫BD = BE-ED = b-a，
∠G=∠BDC=90
∴△GHF≌△DBC(ASA),S7=S2
从∠BAQ =∠BEA = 90°可以看出∠ABE=∠QAM。
∫AB = AQ = c
∴△ABE≌△QAM(AAS)
∴△QAM≌△HBT,S5=S8
同时还有AR=AE=QM=a，而∠QFM和∠ACR分别是∠GHF和∠DBC的余角。
∴∠QFM=∠ACR
∠∠R =∠FMQ = 90°
∴△FMQ≌△CRA(AAS),S4=S6
∵c？=S1+S2+S3+S4+S5，
答？=S1+S6，b？=S3+S7+S8
S7=S2，S8=S5，S4=S6
∴a？+b？= s 1+S6+S3+S7+S8 = s 1+S4+S3+S2+S5 = c？
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证明11(利用切线定理证明):
在直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，AC=b，AB=c，BC=a，画一个以B为圆心，A为半径，AB与D点相交，AB的延长线与e点相交的圆
根据切线定理(圆的切线和割线是从圆外的一点画出的，切线长度是割线与从该点到割线与圆的交点的两条线的长度之比中的中项)，我们可以得到:AC？=AD？自动曝光装置
∴b？=(c-a)(c+a)=c？-a？
∴a？+b？=c？
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证明12(用多栏米定理证明):
在直角三角形ABC中，设BC=a，AC=b，斜边AB=c，A点为AD∨CB，B点为BD∨CA，则四边形ACBD是内接唯一圆的矩形。
根据DOM列定理(圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和)，我们可以得到:
AB？DC=DB？AC+AD？民用波段
∫AB = DC = c，DB=AC=b，AD=CB=a
∴c？=b？+a？
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证明13(直角三角形内切圆的证明):
在Rt△AB=c中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c..作Rt△ABC的内切圆⊙O，切点分别为D，E，F，如下图所示，设圆O的半径为r。
∫AB = AF+BF，CB=BD+CD，AC=AE+CE
∴AC+c B- ab =(AE+ce)+(BD+CD)-(af+BF)= ce+CD = 2r，即a+b-c=2r。
∴a+b=2r+c
(a+b)？=(2r+c)？
答？+b？+2ab=4(r？+rc)+c？
∫S△ABC =？腹肌
∴4S△ABC=2ab
∫S△ABC = S△AOB+S△BOC+S△AOC =？cr+？ar+？br=？(a+b+c)r=？(2r+c+c)r=r？+rc
∴4(r？+rc)=2ab
∴a？+b？+2ab=2ab+c？
∴a？+b？=c？
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证明定律14(反证法证明):
在Rt△AB=c中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c..c点是CD⊥AB，垂足是d点，如下图所示。
假设a？+b？≠c？，也就是AC？+BC？≠AB？
然后由AB？= ab ab = ab (ad+BD) = ab ad+ab BD。
AC？≠ ab ad或BC ≠AB BD
即AD: AC ≠ AC: AB或BD: BC ≠ BC: AB。
在△ADC和△ACB中，
∠∠A =∠A
∴ If AD: AC ≠ AC: AB，∠ADC≦ACB。
在△CBD和△ACB。
∠∠B =∠B
∴如果BD: BC ≠ BC: AB，那么∠CDB≦ACB。
∠∠ACB = 90°
∴∠adc≠90∠国开行≠90
这与CD⊥AB相矛盾，所以假设是不成立的。
∴a？+b？=c？
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证据15(辛普森证据):
直角三角形有A和B为直角，C为斜边。做一个边长为a+B的正方形。
将正方形ABCD分成左上图所示的几部分，正方形ABCD的面积为
(a+b)？=a？+b？+2ab
将正方形ABCD分成几部分，如上右图所示，正方形ABCD的面积为
(a+b)？=4x？ab+c？=2ab+c？
∴a？+b？+2ab=2ab+c？
∴a？+b？=c？
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证据16(陈杰证据):
设直角三角形的两个直角的长度为a和b(b >；a)，斜边的长度为c .做两个边分别为a和b的正方形，摆成如图所示的形状，使E，H，M在一条直线上。用数字表示区号，如下图所示。
如果ED = a在EH = b处截取，DA和DC相连，那么ad = c
∫EM = EH+HM = b+ a，ED = a
∴DM = em――ed =(b+a)――a = b
∠∠cmd = 90，CM = a，∠ aed = 90，AE = b。
∴rtδaed≠rtδDMC(SAS)
∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c
∠∠ADE+∠ADC+∠MDC = 180，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90
∴∠ADC = 90°
∴为abcd，CB∨da，则四边形ABCD是边长为c的正方形
∠∠BAF+∠FAD =∠DAE+∠FAD = 90
∴ ∠BAF=∠DAE .链路FB，inδABF和ADE
AB = AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE
∴δabf≌δade(SAS)
∴ ∠AFB = ∠AED = 90，BF = DE = a
点b、f、g和h在一条直线上。
在rt δ ABF和rt δ BCG中，
AB = BC = c，BF = CG = a，
∴rtδabf≌rtδBCG(HL)
∵c？=S？+S？+S？+S？，b？=S？+S？+S？，a？=S？+S？，S？=S？=S？=S？+S？,
∴a？+b？=S？+S？+S？+S？+S？=S？+S？+S？+(S？+S？)=S？+S？+S？+S？=c？
∴ a？+b？=c？
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