历史上的三次数学危机
这所学校是宗教、科学和哲学的结合体。它的数量是固定的，它的知识是保密的，所有的发明创造都归功于它的领导者。
当时人们对有理数的认识还很有限，对无理数的概念一无所知。毕达哥拉斯学派说，数字最初的意思是整数。他们没有把分数看作一个数，而只是看作两个整数的比值。他们错误地认为宇宙中所有的现象都归结于整数或者整数的比值。
根据毕达哥拉斯定理(西方称毕达哥拉斯定理)，该学派成员希伯索斯通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比值。
赫贝索斯的发现被认为是“荒谬的”，违背常识。
它不仅严重违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统观点。
当时希腊数学家深感不安。相传赫比索斯就是因为这一发现而葬身大海，这是第一次数学危机。
最后，将不可公度量的概念引入几何学，解决了这一危机。
两条几何线段若有第三条线段能同时度量它们，则称它们不可公度，否则称它们不可公度。
没有第三条线段可以同时测量正方形的一边和对角线，所以它们是不可通约的。
显然，只要我们承认不可公度量的存在使得几何量不再受整数限制，所谓的数学危机也就不复存在了。
我认为第一次危机最大的意义是导致了无理数的出现。比如我们现在谈论的东西，是无法用语言表达的。那么就必须引入新的数字来描述这个问题，于是无理数就出现了。正是有了这种思想，当我们对负数求根时，人们引入了虚数I(虚数的出现导致了复变函数等学科的出现，在现代工程技术中得到了广泛的应用)，这让我不得不佩服人类。
但我个人认为第一次危机的真正解决在于德国数学家在1872中对无理数的严格定义，因为数学强调其严密的逻辑和推导。
第二次数学危机发生在十七世纪。
17世纪微积分诞生后，由于微积分的理论基础，数学出现了混乱的局面，即第二次数学危机。
其实我翻了一下数学史的资料。早在古希腊就形成了微积分的雏形。阿基米德的逼近法实际上掌握了无穷小分析的基本要素。直到2100年后，牛顿和莱布尼茨开辟了一个新世界——微积分。
微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，用无穷小作为除法的分母。当然，无穷小不可能为零。第二步，牛顿将无穷小视为零，去掉包含它的项，从而得到所需公式。在力学和几何学中的应用证明这些公式是正确的，但其数学推导过程在逻辑上是矛盾的。焦点是:无穷小是零还是非零？如果是零，怎么做除数？如果不是零，如何剔除那些包含无穷小量的项？
直到19世纪，柯西详细而系统地发展了极限理论。
柯西认为把无穷小作为一个确定的量，甚至是零，是不合理的，会和极限的定义相冲突。
无穷小应该越小越好，所以本质上是一个变量，是一个以零为极限的量。至此，柯西澄清了前人的无穷小概念。此外，魏斯特拉斯创立了极限理论，加上实数理论和* * *理论的建立，从而把无穷小从形而上学的桎梏中解放出来，基本解决了第二次数学危机。
我自己的理解是无穷小量。是否为零取决于它是运动的还是静止的。如果是静态的，我们当然认为可以看作是零。如果是动的，比如说1/n，我们说，但是n 1/n的乘积是1，不是无穷小。当我们遇到这样的情况时，可以用罗必达定律反复求导来考察极限，也可以用泰勒展开式一步一步地展开比值，总会在有限的顺序中比较大小。
第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论震惊了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。
我看过很久以前的“理发师悖论”，就是理发师给不自己理发的人理发。
那么理发师应该自己理发吗？还有众所周知的“骗子悖论”，其大致内容是:一个克里特人说:“所有克里特人所说的一切都是谎言。
“问这句话是真是假？数学上，这是罗素悖论的一个具体例子。
罗素在这个悖论中定义的*** R，几乎被所有***论者认为是一个在简单* * *论中可以合法存在的* * *物。
虽然是这样，但原因是什么呢？这是因为R是* * *。如果R包含自身作为一个元素，就有R，那么从* * *的角度来看就有R。
一个* * *真的包含了自身，这样的* * *显然是不存在的。
因为很明显，R不可能有不同于R的元素，而R and R也不可能相同。
所以任何* * *都必须遵循R R的基本原则，否则就是违法的。
这样，罗素悖论中定义的所有R R的* * *就应该是所有合法* * *的* * *也就是所有* * *的* * *了，也就是说，同一种东西包含了所有同类的东西，必然导致最大的这种东西。
归根结底，R是包含一切的“最大* * *”。
因此，可以明确的是，在本质上，罗素悖论是以否定形式陈述的最大悖论。
此后，数学家们一直在寻找解决这一危机的方法，其中之一就是将* * *理论建立在一套公理之上，以避免悖论。
首先，德国数学家泽尔梅罗提出了七个公理，建立了一种不会产生悖论的* * *理论，经过另一位德国数学家弗里德里希·克尔的改进，形成了一个没有矛盾的* * *理论的公理体系(即所谓的ZF公理体系)，数学危机在这里得到了缓解。
现在通过对离散数学的学习，我们知道***理论主要分为康托***理论和公理化* * *理论，而* * *是通过先定义完备集I和空集，再经过一系列一元和二元运算得到的。
基于七大公理的* * *理论体系避免了罗素悖论，使现代数学得以发展。