数学的起源

数学起源于人类早期的生产活动，是中国古代六大艺术之一，也被古希腊学者视为哲学的起点。数学在希腊语中的意思是“学习的基础”。

数学史:

数学的主要科目主要产生于商业计算、理解数字之间的关系、测量土地和预测天文事件的需要。这四种需求一般与数量、结构、空间、变化等广泛的数学领域(即算术、代数、几何、分析)相关。除了上述主要关注点之外，还有用于探索数学核心与其他领域之间联系的子领域:到逻辑学、到集合论(基础)、到不同科学中的经验数学(应用数学)、到近代对不确定性的严谨研究。

量

量的学习是从数开始的，最开始是熟悉的自然数和整数以及算术中描述的那些的算术运算。在数论中研究了整数的更深层次的性质，其中包括著名的结果，如费马大定理。

当数系进一步发展时，整数被认为是有理数的子集，包含在实数中，连续量用实数表示。实数可以进一步推广为复数。数的进一步推广可以继续包括四元数和八进制数。对自然数的考虑也会导致超限数，这就公式化了计数到无穷大的概念。另一个研究领域是它的大小，这导致了基数和另一个无限的概念:Alev数，它允许在无限集合的大小之间进行有意义的比较。

结构

许多数学对象，如数和函数的集合，都有内部结构。这些对象的结构属性在群、环、体和其他本身就是对象的抽象系统中讨论。这是抽象代数的领域。这里有一个很重要的概念，就是向量，推广到向量空间，在线性代数中研究。向量的研究结合了数学的三个基本领域:量、结构和空间。向量分析将其扩展到第四个基本领域，即变化。

空间

对空间的研究来源于几何学——尤其是欧几里得几何学。三角学结合了空间和数字，包含了一个非常著名的勾股定理。现在对空间的研究扩展到更高维的几何，非欧几何(在广义相对论中起核心作用)和拓扑学。数字和空间在解析几何、微分几何和代数几何中起着重要的作用。微分几何中有纤维丛、流形上的计算等概念。代数几何中有多项式方程解集等几何对象的描述，结合了数和空间的概念；还有拓扑群的研究，结合了结构和空间。李群用于研究空间、结构和变化。

基础和哲学

为了理解数学基础，发展了数理逻辑和集合论。德国数学家格奥尔格·康托尔(1845-1918)开创了集合论，大胆地向无穷进军，为数学的各个分支提供了坚实的基础，其本身的内容也相当丰富，提出了实无穷的存在，为数学的未来发展做出了不可估量的贡献。康托尔的工作给数学的发展带来了一场革命。因为他的理论超越了直觉，所以遭到了当时一些大数学家的反对。皮奥卡尔还把集合论比作一种有趣的“病态情境”，克罗内克对康托尔的反击是“神经质的”，“走进了超越数字的地狱”。康托尔对这些批评和指责仍然充满信心。他说:“我的理论坚如磐石，谁反对，谁就搬起石头砸自己的脚。”

集合论在20世纪初逐渐渗透到数学的各个分支，成为分析论、测度论、拓扑学和数学科学中不可或缺的工具。20世纪初世界上最伟大的数学家希尔伯特在德国传播康托尔的思想，称他为“数学家的天堂”，“数学思想最惊人的产物”。英国哲学家罗素称赞康托尔的作品是“这个时代可以吹嘘的最伟大的作品”。

数理逻辑着重于把数学放在一个坚实的公理框架上，研究这个框架的结果。本身就是哥德尔第二不完全定理的诞生地，这也许是逻辑学中流传最广的成果——总有一个真定理无法证明。现代逻辑分为递归论、模型论和证明论，与理论计算机科学密切相关。

扩展:数学一词的起源

古希腊人把名字、概念和自我思考引入数学，他们很早就开始猜测数学是如何产生的。虽然他们的猜测只是匆匆记下，但几乎首先占据了猜想的思维领域。古希腊人随意记下的东西，在19世纪成了一大堆文章，到了20世纪却成了令人讨厌的陈词滥调。现存资料中，希罗多德(公元前484-425年)是第一个开始猜测的人。他只谈几何。他可能不熟悉一般的数学概念，但他对土地测量的确切含义很敏感。作为人类学家和社会历史学家，希罗多德指出，古希腊的几何学来自古埃及。在古埃及，由于每年的洪水淹没了土地，人们经常需要重新测量土地，以达到征税的目的。他还说:希腊人从巴比伦人那里学会了日晷的使用，把一天分为12小时。希罗多德的发现得到了肯定和赞扬。推测普通几何有辉煌的开端是肤浅的。

柏拉图关心数学的方方面面。在他充满奇妙幻想的童话《费》中，他说:

故事发生在古埃及的洛克拉丁(地区)，那里住着一个老仙女。他的名字是Theuth。对赛斯来说，朱鹭是一种神鸟。在ibis的帮助下，他发明了数字、计算、几何和天文学，以及棋盘游戏。

柏拉图常常充满奇怪的幻想，因为他不知道自己是不是亚里士多德。最后，他用完全概念化的语言谈数学，也就是有自己发展目的的数学。亚里士多德在他的《元物理学》第1卷第1章中说:数学科学或数学艺术起源于古埃及，因为古埃及有一群自由自觉地投身于数学研究的祭司。亚里士多德所说的是否属实值得怀疑，但这并不影响亚里士多德的聪明和敏锐的观察力。在亚里士多德的书中，提到古埃及只是为了解决以下问题的争论:1。有知识为知识服务，纯数学就是最好的例子:2。知识的发展并不是因为消费者对购物和奢侈品的需求。亚里士多德的“幼稚”观点可能会遭到反对；但无法反驳，因为没有更有说服力的观点。

总的来说，古希腊人试图创造两种“科学的”方法论，一种是本体论，另一种是他们的数学。亚里士多德的逻辑方法介于两者之间，亚里士多德本人认为他的方法只能是一般意义上的辅助方法。古希腊的本体论具有明显的巴门尼德“存在”的特征，并受到赫拉克利特“理性”的轻微影响。本体论的特征只在斯多葛派和其他希腊著作的后期翻译中表现出来。数学作为一种有效的方法论，已经远远超越了实体论，但由于某种原因，数学本身的名字并没有像“存在”和“合理性”那样响亮和被肯定。然而，数学名称的出现反映了古希腊人的一些创造性特征。下面我们将解释数学这个术语的由来。

“数学”一词来源于希腊语，意思是“学到的或理解的”或“获得的知识”的东西，甚至还有“可获得的东西”和“可学习的东西”的意思，即“通过学习获得的知识”。这些数学名称的含义似乎和梵语中同根词的含义是一样的。就连伟大的词典编辑利特雷(E.Littre也是当时杰出的古典学者)也在他的法语词典(1877)中收录了“数学”一词。《牛津英语词典》没有提到梵语。在公元10世纪的拜占庭希腊词典《Suidas》中，引入了“物理”、“几何”、“算术”等术语，但没有直接列出“数学”一词。

“数学”这个词从表达一般知识到表达数学专业经历了一个漫长的过程，这个过程是在亚里士多德时代才完成的，而不是在柏拉图时代。数学名称的专门化不仅在于其深远的意义，还在于当时只有古希腊“诗”字的专门化才能与数学名称的专门化相媲美。“诗”的本义是“已经做成或完成的东西”，“诗”这个词的专门化是在柏拉图时代完成的。不知道为什么词典编者或者涉及名词特殊化的知识题都没有提到诗歌，也没有提到诗歌和数学名称特殊化的奇怪相似。但是数学名称的专门化确实引起了人们的注意。

首先，亚里士多德提出“数学”一词的专门用法源于毕达哥拉斯的思想，但没有资料表明关于起源于爱奥尼亚的自然哲学有类似的思考。其次，在爱奥尼亚人中，只有泰勒斯(公元前640年？-546)在“纯”数学方面的成就是可信的，因为除了第欧根尼·拉尔修的简短提及之外，这种可信度还有一个较晚的、直接的数学来源，即来自普罗克洛斯对欧几里德的评论:但这种可信度并不来自亚里士多德，尽管他知道泰勒斯是一个“自然哲学家”；也不是出自早期的希罗多德，虽然他知道塞利斯是政治和军事战术的“爱好者”，甚至预言过日食。这些或许有助于解释为什么柏拉图的体系中几乎没有爱奥尼亚的成分。赫拉克利特(公元前500年？有句名言:“万物皆在运动，世事无常”，“人不可能两次掉进同一条河里”。这句名言迷惑了柏拉图，但赫拉克利特并没有像巴门尼德那样受到柏拉图的尊重。从方法论的角度来看，巴门尼德的物质理论与赫拉克利特的变化理论相比，是毕达哥拉斯数学的有力竞争者。

对于毕达哥拉斯来说，数学是一种“生活方式”。事实上，从公元2世纪的拉丁语作家盖利乌斯、公元3世纪的希腊哲学家波尔菲里和公元4世纪的希腊哲学家Iamblichus的一些证词来看，毕达哥拉斯学派似乎有一个面向成年人的“普通学位课程”，包括正式注册者和临时注册者。临时成员称为“观察者”，正式成员称为“数学家”。

这里的“数学家”只是指一类成员，并不是说他们精通数学。毕达哥拉斯学派的精神经久不衰。对于那些被阿基米德的神奇发明深深吸引的人来说，阿基米德是唯一独一无二的数学家。从理论上讲，牛顿是数学家，虽然他也是半个物理学家。普通大众和记者更愿意把爱因斯坦视为数学家，尽管他是一个彻头彻尾的物理学家。当罗杰·培根(1214-1292)通过倡导接近科学的“本体论”来挑战他的世纪时，他是在把科学放到一个数学的大框架里，尽管他在数学上的造诣有限。当笛卡尔(65433)然后莱布尼茨引用了一个非常相似的概念，这成为后来的符号逻辑的基础，符号逻辑在20世纪成为一个流行的数理逻辑。

18世纪，数学史上的先驱作家蒙图克拉说，他听说过古希腊人首先把数学称为“一般知识”的事实。有两种解释:一种解释是数学本身优于其他知识领域；另一种解释是，数学作为一门通识学科，在修辞学、辩证法、语法、伦理学之前就有完整的结构。蒙特克莱尔接受了第二种解释。他不同意第一种解释，因为在普罗克洛斯对欧几里得的评论中，或者在任何古代材料中，都没有找到适合这种解释的证实。然而，19世纪的词源学家倾向于第一种解释，而20世纪的古典学者则倾向于第二种解释。但是我们发现这两种解释并不矛盾，就是数学已经存在很久了，而且优越性无与伦比。