高一数学必修功能详解。
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编辑本段数学定义的经典定义:在某一变化过程中有两个变量X和Y，按照一定的对应规则，对于每一个给定的X值，都有一个唯一确定的Y值与之对应，所以Y是X的函数，其中X为自变量，Y为因变量。
另外，如果对于每个给定的Y值都有一个唯一的X值，那么X也是Y的函数..
现代定义:一般来说，给定一组非空数A和B，按照一定的对应规则F，A中的任意元素X在B中有唯一的Y，那么这种从集合A到集合B的对应称为从集合A到集合B的函数。
注:x → y = f (x)，x ∈ a .集合a称为函数的定义域，d，集合{y ∣ y = f (x)，x ∈ a}称为值域，c .定义域，值域，对应规则称为函数的三要素。一般写成y = f(x)x∈d，如果省略定义域，则指对函数有意义的所有实数的集合。
用映射的定义:一般来说，给定非空数集合A和B，从集合A到集合B的映射称为从集合A到集合B的函数。
向量函数:自变量是向量的函数称为向量函数f(a1.a2，A3......an) = Y。
对应、映射和函数之间的重要关系；
函数是数集上的映射，映射是特定的对应。即:{函数}包含在{映射}中，包含在{对应关系}中
这些语句在编辑这个计算机定义的函数的过程中被用来完成一些有意义的工作——通常是处理文本、控制输入或计算数值。通过在程序代码中引入函数名和所需的参数，可以在程序中执行(或调用)函数。
类似于过程，但是函数通常有返回值。它们都可以在自己的结构中调用自己，这叫做递归。
大多数编程语言在构造函数的方法中都有函数关键字(或保留字)。
与数学函数类似，方程中也经常用到函数，比如y=f(x)(f由用户定义)。
编辑这段话是数学中的一个基本概念，也是代数中最重要的概念之一。
首先要明白，函数是非空数集之间的对应关系。然后，明白A和b之间的函数关系不止一个，最后，要重点理解函数的三要素。
函数的对应规则通常用解析表达式表示，但大量函数关系不能用解析表达式表示，只能用图像、表格等形式表示。
编辑本段中与函数相关的概念。在变化过程中，变化的量称为变量，有些数值不随变量而变化。我们称之为常数。
自变量，函数，是与其他量相关的变量，这个量中的任何值都可以在其他量中找到对应的固定值。
因变量(函数)随着自变量的变化而变化，当自变量取唯一值时，因变量(函数)有且仅有唯一值与之对应。
函数值，在Y为X的函数中，X确定一个值，Y相应地确定一个值。当X取A时，Y确定为B，B称为A的函数值..
映射定义假设A和B是两个非空集。如果存在一个唯一的元素B根据某个对应关系F对应于集合A中的任意元素A，那么这样的对应关系(包括集合A和B，以及集合A到集合B的对应关系F)称为集合A到集合B的映射，记为F: A → B .其中，B称为A在映射F下的像，记为:B = F(A)；A称为b关于映射f的原像，集合A中所有元素的像的集合记为f(A)。
然后就是:定义在非空数集之间的映射叫做函数。函数的自变量是一个特殊的原像，因变量是一个特殊的像。
几何意义函数与不等式和方程(初等函数)有关。设函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量数值是图像与X轴交点的横坐标；从代数的角度来看，对应的自变量就是方程的解。另外，将函数(无表达式的函数除外)表达式中的“=”替换为“”，然后将“y”换成其他代数表达式，函数就变成了一个不等式，就可以求出自变量的取值范围。
函数的集合论如果从X到Y的二元关系f: x× y对每个x∈X有唯一的y∈Y，使得< X，y & gt∈f，然后调用f一个从x到y的函数，写成:f: x → y。
当x = X=X1×…×Xn时，f称为n元函数。
其特点:
前定义域和定义域重合。
单价:
编辑本段的定义域、对应域和值域的输入值集合x，称为f的定义域；可能输出值的集合y称为F的范围。函数的范围是指通过对定义字段中的所有元素映射F而获得的实际输出值的集合。注意，调用对应域值域是不正确的，函数的值域是函数对应域的子集。
在计算机科学中，参数和返回值的数据类型分别决定了子程序的定义域和对应域。因此，定义域和相应的域是在函数开始时确定的强制约束。另一方面，范围与实际执行有关。
编辑本段的内射函数，内射函数，内射函数，把不同的变量映射成不同的值。也就是说，如果X和Y属于定义域，只有当X不等于Y时，f(x)才不等于f(y)..
内射满射函数的值域是其对应的值域。即对于映射F的映射域中的任意Y，至少存在一个满足f (x) = Y的X。
双射函数既是内射的又是满射的。也叫一一对应。双射函数常用来表示集合X和Y是等势的，即它们有相同的基数。如果两个集合之间能建立一一对应关系，则称这两个集合是等势的。
编辑这个图像和原图像元素x∈X在F中的图像是f(x)，他们取的公式是0。
子集a？x在f中的像是y的由它的元素的像组成的子集，即f(
编辑本段中的函数图像函数f的图像是平面上点对(x，f(x))的集合，其中x取定义域中的所有成员。函数图像有助于理解和证明某些定理。
如果X和Y都是连续的直线，函数的图像就有了非常直观的表示。注意，两个集合X和Y之间的二元关系有两个定义:一个是三元组(X，Y，G)，其中G是关系的图；第二种是简单地定义与图的关系。根据第二个定义，函数f等于它的像。
当k < 0时，直线是上升的，经过一个或三个象限或上下平移象限；当k & gt0，直线是下降的，经过两个或四个象限，向上或向下平移象限。
编辑本段中属性函数的有界性。设函数f(x)的定义域为d，数集x包含在d中..如果数K1存在，使得f(x)≤K1对任意x∈X成立，则称函数f(x)在X上有上界，K1称为函数f(x)上界。如果有一个数K2，使得f(x)≥K2对任意x∈X成立，则称函数f(x)在X上有一个下界，K2称为函数f(x)在X上的一个下界.如果有一个正数m，则| f (x) |
函数f(x)在X上有界的充要条件是它在X上既有上界又有下界。
函数的单调性让函数f(x)的定义域为d，区间I包含在d中如果对于区间I上的任意两点x1和x2，当X1
函数的奇偶性设f(x)是实变实函数，那么f是奇函数。以下等式适用于所有实数x:
F(x) = f(-x)或f( -x) =-f(x)几何上，一个奇函数与原点对称，即它的图形绕原点旋转180度后不会改变。
奇函数的例子有X，sin(x)，sinh(x)和erf(x)。
设f(x)是一个实变实函数，那么f是一个偶函数，如果下面的等式对所有实数x都成立:
F(x) = f(-x)几何上，一个偶函数会关于Y轴对称，即它的图形镜像到Y轴后不会改变。
偶函数的例子有|x|，x ^ 2，cos(x)和cosh(sec)(x)。
偶函数不能是双射映射。
函数的周期狄利克雷函数让函数f(x)的定义域为D，若有一个正数L，使得对任意x∈D，有(x ∈ l)∈D，且f(x+l)=f(x)为常数，则f(x)称为周期函数，L称为f(x)的周期。通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。周期函数的定义域D是至少有一边的无界区间。如果D是有界的，则修正函数不是周期的。
不是每个周期函数都有最小正周期，比如狄利克雷函数。
函数的连续性在数学中，连续性是函数的一个属性。直观来说，连续函数就是当输入值的变化足够小时，输出的变化也会足够小的函数。如果输入值的微小变化会引起突然的跳变，甚至输出值不确定，则该函数称为不连续函数(或称不连续函数)。
设f是从实数集合的子集投影的函数:。当且仅当满足下列两个条件时，f在c点是连续的:
f定义在C点，C是in中的一个收敛点，无论自变量X在in中如何逼近C，f(x)的极限都存在且等于f(c)。我们称一个函数处处连续或处处连续，或者如果它在其定义域中的任何一点连续，则称它为单纯连续。更一般地说，我们说一个函数在其定义域的子集上是连续的，当它在这个子集上的每一点都是连续的。
没有极限的概念，实函数的连续性也可以用下面的所谓方法来定义。
还是考虑功能吧。假设C是f的定义域中的一个元素。当且仅当下列条件成立时，函数f在C点是连续的:
对于任何一个正实数，都有一个正实数δ>；0，因此对于任何域，只要x满足c-δ
函数的凹凸性设f(x)在I上连续，若对于I上的两点x1≠x2，则总有F ((X1+x2)/2)≤(F(x 1)+F(x2))/2，(F((x 1+x2)/2。(f(x1)+f(x2))/2)然后说f(x)是区间I上的(严格)凸函数；如果f ((x1+x2)/2)≥(f(x 1)+f(x2))/2，(f((x 1+x2)/2)>(f(x1)+f(x2))/2)那么f(x)是区间上的(严格)凹函数。
实函数或虚函数实函数是指定义域和值域都是实数的函数。实函数的一个特点是可以在坐标上画图。
虚函数是面向对象程序设计中的一个重要概念。当从父类继承时，虚函数和被继承的函数具有相同的签名。但是在运行过程中，运行系统会根据对象的类型自动选择合适的具体实现来运行。虚函数是面向对象编程实现多态性的基本手段。
编辑本段中功能概念的发展历史。17世纪的G .伽利略(意大利，1564-1642)几乎都包含了函数或变量关系的概念，用文字和比例的语言表达函数之间的关系。笛卡尔(法国，1596-1650)在1637前后的《解析几何》中就已经注意到了一个变量对另一个变量的依赖性，但他当时并没有意识到需要细化函数的概念，所以直到17世纪后期牛顿和莱布尼茨建立微积分之前，没有人定义过函数。
1673年，莱布尼茨首次用“函数”来表示“权力”。后来，他用这个词来表示曲线上各点的几何量，如横坐标、纵坐标、切线长度等。同时，牛顿在微积分的讨论中用“流”来表达变量之间的关系。
18世纪，约翰·伯努利(瑞士，1667-1748)在莱布尼茨函数概念的基础上定义了函数的概念:“由任何变量和任何形式的常数组成的量。”他的意思是，任何由变量X和常数组成的公式都称为X的函数，他强调函数要用公式来表示。1748年，伯努利的学生欧拉在他的著作《无穷分析导论》中说:“变量的函数是由变量的一些数或常数和任何方式组成的解析表达式。
1755，欧拉(L. Euler，瑞士，1707-1783)将函数定义为“如果某些变量以某种方式依赖于其他变量，即当后者变量发生变化时，前者变量也发生变化，我们称前者变量为后者变量的函数。”
欧拉(L. Euler，瑞士，1707-1783)给出了一个定义:“变量的函数是由这个变量和一些数或常数以任何方式组成的解析表达式。”他调用了约翰·伯努利解析函数给出的函数定义，并进一步将其分为代数函数和超越函数，还认为是“任意函数”。不难看出，欧拉对函数的定义比约翰·伯努利的定义更普遍、更广泛。
在19世纪，函数的概念是1821年。柯西(法国，1789-1857)从变量的定义给出了定义:“某些变量之间存在一定的关系。当一个变量的值给定时，其他变量的值可以相应地确定，初始变量将被采用。柯西的定义中首次出现了自变量一词，同时指出函数不需要解析表达式。但他仍然认为函数关系可以用多个解析表达式来表示，这是很大的局限性。
1822年，傅立叶(法国，1768—1830)发现有些函数也已经用曲线表示，或者可以用一个公式表示，也可以用多个公式表示，从而结束了函数概念是否只用一个公式表示的争论，把对函数的认识推上了一个新的台阶。
在1837中，狄利克雷(德国，1805-1859)突破了这个限制，认为如何建立X和Y的关系是无关紧要的。他拓宽了函数的概念，指出:“对于X在一定区间内的每一个确定值，Y都有一个确定值，所以Y，这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以明确的方式被所有数学家所接受。这就是人们常说的经典函数定义。
康托尔(德国，1845-1918)创立的集合论在数学中占据重要地位后，维布伦(美国，维布伦，1880-1960)用“集合”和“对应”。
现代函数概念1914 F .豪斯多夫在《集合论大纲》中用“序偶”这一模糊概念定义函数，避免了“变量”和“对应”这两个模糊概念。在1921中，Kuratowski用集合的概念定义了“有序偶”，使得Hausdorff的定义非常严谨。
在1930中，新现代函数被定义为“若总有一个由集合N确定的元素Y对应于集合M的任意元素X，则称一个函数定义在集合M上，记为y=f(x)。元素x称为自变量，元素y称为因变量。”
一般情况下，设函数y=f(x)(x∈A)的值域为c，根据该函数中X与Y的关系，用Y表示X，得到x= f(y)。如果对于C中Y的任意值，X有唯一值且它在a中，反函数y = f-1 (x)的定义域和值域分别是函数y=f(x)的定义域和值域。
注:(1)在函数x = f-1 (y)中，y为自变量，x为函数，但传统上我们通常用x表示自变量，y表示函数，所以我们经常把函数x = f-1 (y)中的字母x和y对调，改写为y = f。
反函数也是函数，因为它符合函数的定义。从反函数的定义可以看出，任何函数y=f(x)都不一定有反函数。如果函数y=f(x)有反函数y = f-1 (x)，那么函数y = f-1 (x)的反函数就是y=f(x)。。
(3)从映射的定义可以看出，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，它的反函数y = f-1 (x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y = f-1 (x)。函数y=f(x)的值域正好是其反函数y = f-1 (x)的定义域(如下表所示):
函数y=f(x)反函数y = f-1 (x)
定义域A C
范围C A
(4)上述定义可以用“逆”映射的概念来描述:
如果确定函数y=f(x)的映射F是定义域到值域的“一一映射”，那么由“逆”映射F确定的函数x = f-1称为函数y=f(x)的反函数。。
前两个例子:s=vt记为f(t)=vt，那么它的反函数可以写成f-1 (t) = t/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，那么它的反函数就是:f-1(。
反函数有时需要分类讨论，如:f(x)=X+1/X，X需要分类讨论:当X大于0时，X小于0，需要注意。一般分式函数的反函数表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)-y = b-dx/CX+a
反函数的应用；
当难以直接求函数的值域时，可以通过求原函数的定义域来确定原函数的值域。求反函数的步骤如下:
1.先求原函数的值域，因为原函数的值域就是反函数的定义值域。
我们知道函数的三要素是定义域、值域和对应规则，所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步。
2.逆解X，即X用y表示。
重写交换位置，就是把X换成Y，Y换成X。
4.写出反函数及其定义域。
就关系而言，一般是双向的，功能也是如此。设y=f(x)是已知函数。如果每个y都有唯一的x∈X，使得f(x)=y，则是从y中求X的过程，即X成为y的函数，记为x = f-65438。那么f -1就是f的反函数，传统上用x来表示自变量，所以这个函数还是记为y=f -1(x)，比如y=sinx和y=arcsinx是互逆函数。在同一坐标系中，y=f(x)和y=f -1(x)的图形关于直线y = x对称。
如果隐函数可以由方程f(x，y)=0确定y是x的函数y=f(x)，即F(x，f(x))≡0，则称y是x的隐函数。
注意:这里的方程F(x，y )= 0不是函数。
思考:隐函数是函数吗？
不会，因为它在变化的过程中不满足于“一对一”和“多对一”。
多元函数的设定点(x1，x2，…，xn) ∈G？Rn，U？R1，如果对于每个点(x1，x2，...，xn)∈G，有唯一的u∈U与之对应:f: g→ u，u=f(x1，x2，...，xn)。
基本初等函数及其像幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数称为基本初等函数。
①幂函数:y = x μ (μ ≠ 0，μ为任意实数)定义域:μ为正整数时:(-∞，+∞)，μ为负整数时:(-∞，0)∞(0，+∞)；μ=α(a为整数)，α为奇数时为(-∞，+∞)，α为偶数时为(0，+∞)；μ=p/q，p，q互质，为的复合函数。草图如图2和图3所示。
②指数函数:y = a x (a > 0，a≠1)，定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，a & gt1是严格单调递增函数(即当x2 >；当x1，)0③对数函数:y = logax(a & gt；0)，称为a为基，定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞)。a & gt1是严格单调递增的，而0
以10为底的对数称为普通对数，缩写为lgx。以e为底的对数在科学技术中应用广泛，也就是说，
④三角函数:见表2。
正弦函数和余弦函数如图6和图7所示。
⑤反三角函数:见表3。双曲正弦和余弦如图8所示。
⑥双曲函数:双曲正弦(ex-e-x)，双曲余弦？(ex+e-x)，双曲正切(ex-e-x)/(ex+e-x)，双曲余切(ex+e-x)/(ex-e-x)。
编辑这一段，根据未知数的个数对常数函数X进行分类。在定义域上取任意数时，有y=C (C为常数)，则函数y=C称为常数函数，其像是平行于X轴的直线或直线的一部分。一次函数一、定义和定义公式:自变量X和因变量Y有如下关系:y=kx+b(k，b为常数，k≠0)，则称Y是X的一次函数，特别是当b=0，即y=kx时，Y是X的正比函数。
二。线性函数的性质:y的变化值与x对应的变化值成正比，比值为k，即y/x = kⅲ。线性函数的图像和性质；