湍流理论中的湍流半经验理论和模型理论
其中，ε τ是涡流粘性系数。这个假设是模仿牛顿的粘性定律。实际上，ε τ并不是一个只由物性决定的常数，而是一个与流动有关的变量，尤其是在近壁区，变化很大。后来，l .普朗特以气体分子运动理论为模型，提出了混合长度理论，即偶
其中取x和y坐标；u '和v '是相应的脉动速度分量；l称为混合长度。根据平板上边界层的测量，l和离壁的距离y之间的关系可近似表示为:
其中YC = 0.15δ~ 0.20δ；κ=0.40;σ=0.075~0.09;δ是边界层厚度。对于二元混合层和射流，L近似正比于射流的宽度。在对偶的情况下，公式(4)可以用来封闭(2)和(3)。
对于直管内的紊流，戽斗的速度分布可由混合长度理论用对数函数近似得到。经过实验修正，这个对数分布规律是:
其中动态速度称为；τ ω是壁摩擦力。
除了混合长度理论。G.i .泰勒提出了一个模拟涡度输送的理论；t·冯·卡门也提出了局部脉动场相似的理论。有人把这些半经验理论称为平均场闭合模式或“0”方程模式。该模型相对简单，计算结果符合一些工程实际。
上述半经验理论是近似的，适用范围有限。后来经过改进和推广，出现了“1”方程模型，其中除了平均运动方程外，还增加了一个湍流能量方程或关于混合长度的微分方程；还有所谓的“2”方程模型和应力输运模型，以及高阶封闭模型。闭合指的是求解一系列方程的方法，这些方程将一些平均流量与其他流量相关联。闭合需要一个假设，允许方程系列闭合到一个可管理的数。如果这个假设是一个很好的近似，那么封闭模式有一个合适的应用范围。二阶闭包更受关注，但它是一个“2”方程模型，称为K-ε模型。它用湍流能量k和湍流能量耗散率ε来描述湍流脉动场，雷诺应力由下式表示:
其中μt=CμρK2/ε，Cμ为比例常数。然后在k和ε上分别加一个方程，就可以形成一个封闭的方程组，同时计算平均速度场和湍流场。K-ε模型已经被用来计算一些平面平行湍流，但在计算稍微复杂的湍流时效果并不好。
应力输运模型用关于雷诺应力分量的六个输运方程补充了方程(2)和(3)，并引入了一些附加假设。早在1945，周培源就发表了他对应力输运模式的系统研究工作。当时没有电子计算机，他只能泛泛而谈。自20世纪60年代以来，计算机研究一直应用于这一模型。在应力输运模型中，湍流的脉动场用七个量(六个雷诺应力分量和一个耗散率)来描述，似乎比只用k和ε两个量更合理，但也很难封闭。随着耦合方程数量的增加，对边界条件和初始条件的要求也随之提高，给计算带来了很多困难。以上两种二阶闭合都是基于雷诺平均定律，将湍流场分解为平均场和脉动场。当脉动场用u' iuk ――和ε表示时，既有大涡又有小涡，即脉动场中的大涡和小涡是同等对待的，这可能是封闭方程过于复杂的原因。此外，雷诺平均规则不能反映一些相干大涡结构。因此，我们开始探索新的平均方法和封闭模式。“过滤”平均(即过滤掉小涡)和大涡模拟就是这方面的尝试。还有一种方法叫开放理论，与封闭理论相对。它不是截断一系列带有假设的方程，而是寻求在许多可能的解决方案中给出一些重要特征的上限。上述模型理论和半经验理论是对非均匀湍流的定量预测，寻求用简单的统计模型代替复杂的实际过程来预测各种工程或其他实际场合的湍流特性。