当时的蒙古人是如何消灭晋国和南宋的？

公元1235年，蒙古人第一次南侵，被击退。不甘失败的蒙古军于次年九月和第三年两次南侵，战线几乎逼近长江北岸。由于宋军英勇作战，打败了蒙古人，他又一次挫败了蒙古人渡江的企图。随后，南宋军民在抗蒙将领孟珙、于杰的指挥下，多次击败蒙古军，迫使其绕道而行。公元1259年，蒙古可汗蒙哥在湛河州被宋军的箭射伤，死于军中。他的兄弟忽必烈在鄂州与宋军打仗。他闻讯后，立即准备撤军，以便夺取可汗的位置。这时，南宋权臣贾思道派人与忽必烈讲和，确保和平。就这样，忽必烈直接回到北方自立了。

公元1267年，忽必烈为了襄樊之战，下令攻打南宋重镇襄阳。宋军利用汉水源源不断地向城内输送资金，以保住这座城市。守将、吕守城六年，贾似道遣范、助战，二人不和。贾似道封锁了蒙古南侵的所有消息，皇帝也不知道这件事。1271年，忽必烈汗在中原开国，国号元。1272年，张顺、张贵志愿军与元军浴血奋战。1273年，樊城失陷，襄阳城破，宋军巷战不断，吕终于投降，六年襄阳保卫战结束。

1276年，元军攻陷南宋都城临安(今杭州)，俘虏了5岁的南宋恭宗皇帝。南宋主要政权宣告灭亡。

后来南宋残余势力如陆秀夫、文天祥、张士杰等相继建立了两个年轻皇帝(端宗和游助)，并设立了小朝廷。元军追击小皇帝，逃往南方。经过香港后，端宗病死并另立少爷，逃到新会到了南海。文天祥在海丰战败被俘，张士杰战船沉没。南宋绝望的残余势力终于随着崖山海战的失败和1279年3月刚满八岁的陆秀夫小皇帝的去世而灭亡，与蒙元王朝长达40余年的竞争宣告结束。