数学史上的三次危机及其解决方法。
求解:
1，伯内特解释了芝诺的“二分法”:即在有限的时间内不可能通过无限多的点，必须通过给定距离的一半才能完成旅程，为此必须通过一半，以此类推，直至无穷。
亚里斯多德在这里批评芝诺犯了一个错误:“他认为一个事物不可能在有限的时间内穿过无限的事物，或者说不可能单独地联系无限的事物。需要注意的是，长度和时间被说成“无限”有两层意思。
一般来说，所有连续的事物都被说成是“无限的”，有两种含义:要么是分割的无限，要么是扩展的无限。因此，一方面，事物不可能在有限的时间内与无限的事物发生联系。
另一方面，它可以与被划分为无限的事物接触，因为时间本身被划分为无限。所以，穿越无限的事物是在无限的时间而不是有限的时间里进行的，接触无限的事物是在无限的次数而不是有限的次数里进行的。？
2.亚里士多德指出，这个论证和前面的二分法是一样的。这场争论的结论是跑得慢的人是追不上的。
所以这个论证的解法也一定是同样的方法。认为体育运动中领先的东西追不上是错误的，因为它在领先的时间内是追不上的。然而，如果芝诺允许它越过规定的有限距离，它也能被追上。？
3.亚里斯多德认为芝诺的说法是错误的，因为时间不是由不可分的现在组成的，就像任何其他量不是由不可分的部分组成的一样。亚里士多德认为，这个结论是把时间当成‘现在’造成的。如果我们不确定这个前提，这个结论就不会出现。
4.亚里士多德认为这里的错误在于，他把一个运动物体通过另一个运动物体的时间，看成是以同样的速度通过一个同样大小的静止物体的时间，但实际上两者并不相等。
第二，微积分的合理性受到严重质疑，几乎颠覆了整个微积分理论。
解:柯西用极限的方法定义无穷小后，微积分的理论得到了发展和完善，从而使数学大厦更加辉煌和美丽！
三、罗素悖论:S是由所有不属于自己的元素组成的。S包含S吗？通俗点说，有一天小明说:“我在撒谎！”“问问小明是在撒谎还是说实话。罗素悖论的可怕之处在于，它并不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合的高深知识。很简单，但是可以很轻松的摧毁集合论！
解决
1.危机过后，数学家们提出了自己的解决方案。希望通过限制集合的定义来改造康托的集合论，消除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以确保消除所有的矛盾；另一方面，它必须足够宽泛，以便康托尔集合论中所有有价值的内容都可以保留下来。”
1908年，策梅罗根据自己的原理提出了第一个公理化集合论体系，后来被其他数学家改进，称为ZF体系。这个公理化的集合论体系在很大程度上弥补了康托朴素集合论的缺陷。除了ZF系统，还有许多集合论的公理系统，如Neumann等人提出的NBG系统。
2.公理化集合系统成功地消除了集合论中的悖论，从而成功地解决了第三次数学危机。但另一方面，罗素悖论对数学的影响更为深远。它使数学的基本问题第一次以最迫切的需求摆在数学家面前，引导数学家去研究数学的基本问题。
这方面的进一步发展深刻地影响了整个数学。比如围绕数学基础的争论，在现代数学史上形成了三个著名的数学学派，每个学派的工作都推动了数学的大发展。
扩展数据:
在阶级的公理体系中，一些基本概念是未定义的，我们只能从它们的客观意义上来解释，但这样的解释只是有助于理解这些概念。
数学中研究的任何对象都称为类。阶级的概念是无限的。阶级之间可能存在一种叫做归属的关系。A类属于B类，A类也被称为B类的元素(简称元)。
我们可以把一个类理解为由几个元素组成的整体。一个类是否是另一个类的元素是完全确定的，这就是类元素的确定性。如果a类不是b类的元素，就说a不属于b。
参考资料:
百度百科-第三次数学危机
参考资料:
百度百科-第二次数学危机
参考资料:
百度百科-第一次数学危机
参考资料:
百度百科-数学的三大危机