谓词逻辑的命题形式

最简单的命题，即所谓的原子命题，可以分析为两种成分:单个词和谓词。比如“5是质数”和“7大于3”这两个命题中，5、7、3是单个词，“5是质数”和“大于”是谓语。在逻辑学中，一个宇宙中的元素称为个体，个体词是代表个体的符号；在一定宇宙中代表特定个体的符号称为个体常数或个体常数，个体常数是它所代表或所指的个体的名称；不代表某个论域中某个特定个体的个体词称为个体变量或个体变量，分别用符号x，y，z和x1，y1，z1，…个体变量以任何宇宙中的任何物体为值。谓语是表示个体的性质和个体之间关系的符号。个体的本质也称为一元关系，表达个体本质的关系称为一元谓词。两个个体之间的关系称为二元关系，n个个体之间的关系称为n元关系。二元谓词表示二元关系，n元谓词表示n元关系。比如“是质数”是一元谓词，“大于”是二元谓词，“between …”是三元谓词。谓词常数或谓词常数，“是素数”都是谓词常数，表示某个论域中的特定性质或关系。谓词变量或不表示某个论域中特定性质或关系的谓词变量称为谓词变量。谓词变量用符号F，G，H和F1，G1，H1，…谓词变量还分为一元、二元、…、多元等。谓词变量的个数可以明确标注，比如F1表示F是一元的，G2表示G是二元的，但不一定要这样做。在公式中，谓词变量后面的单个变量的数量表示谓词变量的元素数量。比如F(x)中的F是酉的，G(x，y)中的G是二元的，H(x1，x2，…，xn)中的H是n元的。同一个符号，比如f，在不同的公式中可以代表不同的变量，但是在一个复杂的公式中，同一个符号出现几次就是同一个谓词变量。利用个体变量和谓词变量，两个原子命题“5是素数”和“7大于3”的形式可以分别表示为F(x)和G(x，y)两个公式。一般来说，n个个体之间有一定关系的原子命题的形式，用一个n元谓词变量后跟n个个体变量的公式来表示，就是F(x1，x2，…，xn)。表达原子命题形式的公式称为原子公式。组成命题的除了个别的词和谓语，还有量词。量词是命题中表示数量的词，分为全称量词和存在量词。比如“所有阔叶植物都是落叶植物”和“某些水生动物是肺呼吸的”这两个命题中的“所有”和“某些”都是量词，其中前者是全称量词，后者是存在量词。在汉语中，“所有”、“一切”、“一切”表示全称量词，“有”、“有”、“至少一个”表示存在量词。全称量词是符号后的单个变量(如X)，表示为(X)，读作:“对于任意X”和“所有X”。存在量词在符号ヨ后有一个个体变量(如x)，表示为(ヨx)，读作“有一个x”、“有一个x”。在公式前加量词称为量化，如(凬x)F(x)和(ヨx)F(x)，分别称为全称量化和存在量化。(x)F(x)表示“一切x，x为F，即一切为F”；(ヨx)F(x)意思是“有一个x，x是f，即有一个东西是f”从原子公式出发，利用量词和命题连词∧、∨、→和∨可以构造出表达各种复杂命题形式的公式。