什么是矩阵？
分析:
矩阵
矩阵是由方程的系数和常数组成的方阵。用它解线性方程组既方便又直观。例如，对于方程式:
a 1x+b 1y+c 1z = d 1
a2x+b2y+c2z=d2
a3x+b3y+c3z=d3
一般来说，我们可以形成两个矩阵:
a 1b 1c 1a 1b 1c 1d 1
a2b2c2a2b2c2d2
a3b3c3a3b3c3d3
因为这些数字有规律地排列在一起，形状像矩形，数学家称之为矩阵。通过变换矩阵，可以得到方程的解。
矩阵的具体概念最早是由英国数学家凯利在19世纪提出的，并形成了矩阵代数的系统理论。
不过追根溯源，矩阵最早出现在中国的九章算术中。第九章算术方程，提出线性方程的系数和常数按顺序排列成矩形。那么这个方程的解就可以通过移动地方找到。在欧洲，用这种方法解线性方程组，比中国晚了2000多年。
数学上，m×n矩阵是一个具有m行n列的矩形阵列。矩阵由数字组成，或者更一般地说，由环中的元素组成。
矩阵在线性代数、线性规划、统计分析和组合数学中很常见。请参考矩阵理论。
历史
矩阵的研究历史悠久，拉丁方、幻方在史前就有研究。
矩阵作为解线性方程组的工具，也有很长的历史。1693年，微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨建立了行列式理论。1750年，加布里埃尔·克莱姆后来制定了克莱姆法则。1800s，高斯和威廉·乔丹建立了高斯-乔丹消去法。
詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特在1848首次创造了矩阵这个词。研究过矩阵理论的著名数学家有格洛里亚、威廉·罗文·汉密尔顿、格拉斯曼、弗罗贝纽斯和冯·诺依曼。
定义和相关符号
下面是一个4 × 3的矩阵:
矩阵A的第I行和第J列，或者I和J比特，通常被记录为A=7。
在c语言中，也表示为A[i][j]。(值得注意的是，与一般的矩阵算法不同，在C中，“行”和“列”是从0开始计数的。)
另外，A = (aij)，意思是a [I，j] = aiji在数学著作中常见于所有的I和j。
一般环上构造的矩阵
给出一个环R，M(m，n，R)是R中元素排列的所有m× n矩阵的* * *若m=n，通常记为M(n，R)。这些矩阵可以相加相乘(见下)，所以M(n，R)本身就是一个环，这个环与左R模Rn的自同态环同构。
如果R是可置换的，那么M(n，R)是有单位元的R-代数。行列式可以用莱布尼茨公式来定义:一个矩阵是可逆的当且仅当它的行列式在r内可逆。
在* * *，除非特别说明，矩阵大多是实矩阵或者虚矩阵。
分块矩阵
分块矩阵是指将一个大矩阵分成“矩阵”的矩阵。例如，下面的矩阵可以分成四个2×2的矩阵。
这种方法可用于简化运算、数学证明和某些计算机应用，如VLSI芯片设计。
对称矩阵
对称矩阵相对于其主对角线(从左上到右下)对称，即ai，j = aj，I。
Hermite矩阵(或自* *轭矩阵)以复* * *轭的形式相对于其主对角线对称，即ai，j = a * j，I。
Teplic矩阵的所有元素在任一对角线上都是相反的，即ai，j=ai+1，j+1。
随机矩阵的所有列都是概率向量，用于马尔可夫链。
矩阵运算
给定m×n矩阵A和B，可以定义它们的和A+B是m×n矩阵，I和J的项是(A+B) [i，j] = A [I，j]+B [I，J]。例如:
替代加法见矩阵加法。
给定一个矩阵a和一个数c，可以定义一个标量积ca，其中(cA)[i，j] = cA[i，j]。例如
这两种运算使得M(m，n，R)成为维数为mn的实线性空间。
如果一个矩阵的列数等于另一个矩阵的行数，则这两个矩阵的乘积可以定义。比如a是m×n矩阵，b是n×p矩阵，它们是乘积。AB是m×p矩阵，其中
(ab) [i，j] = a [i，1] * b [1，j]+a [i，2] * b [2，j]+...+a [i，n] * b [n，j]对于所有I和。
例如
这种乘法具有以下特性:
(AB)C = A(BC)对于所有的k×m矩阵A，m×n矩阵B和n×p矩阵C(“结合律”)。
(A+B)C = AC+BC对于所有m×n矩阵A和B以及n×k矩阵C(“分布律”)。
C(A+B) = CA+CB对于所有m×n矩阵A和B以及k×m矩阵C(“分布律”)。
需要注意的是，可替代性不一定成立，即有矩阵A和B使得AB ≠ BA。
对于其他特殊乘法，请参见矩阵乘法。
线性变换、秩、转置
矩阵是线性变换的方便表达，因为矩阵乘法和线性变换的合成具有以下关系:
N×1矩阵(即长度为n的向量)用Rn表示。对于每个线性变换f:rn->；Rm有一个唯一的m×n矩阵a，使得f(x) = Ax对于所有的x ∈ Rn。这个矩阵a“代表”线性变换f，目前另一个k×m矩阵b代表线性变换g:RM->；Rk，那么矩阵乘积BA表示线性变换g o f。
矩阵A表示的线性代数的象的维数称为A的矩阵秩，矩阵的秩也是A的行(或列)生成空间的维数。
m×n矩阵A的转置是由行列交换角公式生成的n×m矩阵Atr(也称为AT或tA)，即对于所有I和j，Atr[i，j] = A[j，i]，如果A表示线性变换，则Atr表示其对偶算子。换位具有以下特点:
(A + B)tr = Atr + Btr，(AB)tr = BtrAtr .