如何理解线性空间
向量空间及其理论和方法广泛应用于科学技术的各个领域。
详细定义
向量空间也叫线性空间。它是线性代数的中心内容和基本概念之一。设v为非空集，p为定义域。如果:
1.在V中定义了一个运算，称为加法，即V中任意两个元素α和β按照一定的规律对应V中唯一确定的元素α+β，称为α和β之和。[2]
2.在P和V的元素之间定义了一个运算，称为标量乘法(也叫数量乘法)，即V中的任意元素α和P中的任意元素K按照一定的规律对应V中的唯一元素kα，称为K和α的乘积。
3.加法和标量乘法满足以下条件:
1) α+β=β+α，对于任意α，β ∈ V。
2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，对于任何α，β，γ∈V .
3)有一个元素0∈V，对所有α∈V都有α+0=α，元素0称为V的零元素.
4)对任意α∈V，有一个负元素β∈V使α+β=0，β称为α，记为-α。
5)对于P中的单位元1，有1α=α(α∈V)。
6)对于任意k，l∈P，α ∈ v，存在(kl)α=k(lα).
7)对任意k，l∈P，α∈V，有(k+l)α=kα+lα。
8)对任意k∈P，α，β∈V，有k(α+β)=kα+kβ，
那么V称为域P上的线性空间或向量空间，V中的元素称为向量，V的零点称为零向量，P称为线性空间的基域。当P是实数域时，V称为实线性空间。当P是复数域时，V称为复线性空间。例如，如果V是三维几何空间中所有向量(有向线段)的集合，P是实数域R，那么V与向量的加法(即平行四边形法则)和数与向量的乘法构成实数域R上的线性空间.再例如，如果V是数域P上所有m×n矩阵组成的集合Mmn(P)， 而V的加法和标量乘法分别是矩阵加法和数矩阵乘法，则Mmn(P)是数域P上的线性空间，V中的向量是m×n矩阵。 再比如，域P上所有N元向量(a1，a2，…，an)组成的集合P是(a1，a2，…，an)+(b1，b2，…，BN) = (A1+B6544)。