数论的发展历史

数论在早期被称为算术。直到20世纪初才开始使用数论这个名称，算术这个词的意思是“基本运算”。然而，在20世纪下半叶，一些数学家仍然使用“算术”一词来表示数论。1952年，数学家哈罗德·达文波特仍然用“高级算术”这个词来表示数论。高德菲·哈罗德·哈代和爱德华·梅特兰·赖特(Edward Maitland Wright)在1938写《数论导论》的时候提到“我们考虑过把书名改成《算术导论》，这在某种程度上是个更合适的书名，但也便于读者阅读。

公元前300年，古希腊数学家欧几里德证明了素数有无穷多个。公元前250年，古希腊数学家埃拉托色尼发明了一种寻找素数的埃拉托色尼筛选法。寻找一个素数的通式，或者说素数的通式，是经典数论中最重要的问题之一。

数论从前期到中期跨度1000-2000，2000附近几乎是空白。中期主要指15-16世纪至19世纪，由费马、梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特发展而来。

主要思想是求素数的通式，开始从初等数论转向解析数论和代数数论，产生越来越多的无法解决的猜想。20世纪以后，很多困难仍然依赖于素数的通项公式，比如黎曼猜想。如果找到了素数的一般公式，就可以把一些难题从解析数论转移到初等数论。

到了18世纪末，数学家们已经积累了很多关于整数性质的零散知识，但仍然找不到产生素数的模式。德国数学家高斯集中了前人的成果，写了一本名为《算术研究》的书，于1800年寄给法国科学院，但法国科学院拒绝了高斯的杰作，于是高斯只好在1801年自己出版了。这本书开创了现代数论的新时代。在算术研究中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化，把当时已有的定理系统化、概括化，把要研究的问题和已知的方法分类，并引入新的方法。在这本书中，高斯主要提出了同余理论，发现了著名的二次互等定律，被誉为“数论的酵母”。

黎曼在研究ζ函数时，发现了复变函数的解析性质与素数分布之间的深层联系，从而将数论引入了分析领域。这方面的主要代表人物是英国著名的数论家哈代、李特·伍德、拉马努金等。在国内，有华、、陈景润、等。

另一方面，由于之前人们一直关注费马大定理的证明，代数数论的研究课题得到了发展。比如kummer提出了理想数的概念——可惜当时忽略了代数扩张环的唯一分解定理)。高斯研究了复整数环-高斯整数的理论。他还在立方情形的费马猜想中利用了扩张环的代数数论性质。代数数论发展的一个里程碑是希尔伯特关于数论的报告。

随着数学工具的深入，数论开始与代数几何深入联系，最后发展成为今天最深刻的数学理论，如算术代数几何，最终统一了以前的许多研究方法和观点，从更高的角度进行研究和讨论。

由于现代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。例如，初等数论范围内的许多研究成果被广泛应用于计算方法、代数编码、组合论等；文献中也有报道，一些国家用“孙子定理”来度量距离，用原根和指数来计算离散傅立叶变换。此外，许多深刻的数论研究成果也在近似分析、差集、快速变换等方面得到了应用。特别是由于计算机的发展，使得用离散量的计算来近似连续量并达到要求的精度成为可能。