定积分的历史

很多人认为导数的概念由来已久，却不知道定积分的思想比它更早，甚至可以追溯到古希腊。古希腊人在测量不规则的陆地面积时，先将测量的陆地分成若干个有规则图形的小块，如长方形、三角形等，忽略那些零碎的不规则小块，计算出每个小规则图形的面积，再将它们相加，得到陆地面积的近似值。所以阿基米德在公元前240年左右就用这种方法计算了抛物线弓等图形的面积。这就是除法和近似法思想的萌芽。祖衡原理是中国古代数学家祖冲之的儿子在公元6世纪左右提出的。公元263年，我国的刘徽也提出了割圆术。这些都是中国数学家用定积分的思想计算体积的模型。文艺复兴之后，人类需要进一步认识和征服自然。在建立日心说和探索宇宙的过程中，积分的产生成为必然。开普勒三定律中行星扫过面积的计算和牛顿对天体间引力的计算直到万有引力定律的诞生更直接的推动了积分学核心思想的产生。到牛顿时代，数学家们已经建立了定积分的概念，并且能够计算许多简单函数的积分。但是定积分的结果仍然是孤立的，零散的。直到牛顿和莱布尼茨之后的200年，严格的现代积分理论才逐渐诞生。严格的积分定义从柯西开始。但柯西对积分的定义仅限于连续函数。在1854中，黎曼指出可积函数不一定是连续的或分段连续的，从而推广了积分学。现代教材中的定积分定义是黎曼给出的，人们称之为黎曼积分。当然，我们现在学的积分学是勒贝格等人进一步建立的现代积分理论。2.应用纵观积分的发展过程，我们会发现定积分的发展其实就是其在现实生活中应用的发展。每个例子的背后，自然会发现一些本质的东西，也就是从中抽象出来的数学模型。定积分有很多用途。这里我们从简单本质的问题来讨论定积分的应用类型。