北京坐标系与Xi坐标系的转换方法
(1)高斯投影的正反算
将大地坐标转换为平面直角坐标称为高斯投影正演计算，在同一个椭球体中进行，没有误差。常用量的定义和公式如下:
a是椭球的长轴。
b是椭球短半轴。
f是椭球的扁率
e是第一偏心心率。
e '是第二个偏心率。
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b是纬度，单位为弧度。
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m是子午圈的曲率半径。
n是酉圆的曲率半径。
子午线弧长x
子午线上有两点p1和p2，p1在赤道上，p2的纬度为b，并提供了p1和p2之间子午线弧长x的计算公式:
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比如1980 Xi安坐标系A = 6378140，E2 = 0.006694385，A' = 1.005052506，B' = 0.002531556209，C' = 2.66。e ' = 4.916542167 e-12，f' = 7.263137253e-15，g' = 1.00438+02e.10086
当y ≠ 0，l ≠ 0时，需要以下积分和逐次逼近的方法。
(1)高斯正演计算公式(利用点的经纬度计算XY坐标)
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(2)高斯反算公式(利用点的XY坐标计算经纬度)
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(3)底纬Bf迭代公式
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直到Bi-1-Bi小于指定值，迭代才能停止。
公式
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改进后，国家测绘局将7个系数改为5个，计算每个椭球体的值，采用以下公式:
(1)高斯投影正演计算(B，L→x，y)
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其中:x0 = c0b-cosb(c 1 sin b+C2 sin 2b+C2 sin 5b+C4 sin 7b)
m0=lcosB
l = l-中央经线的经度值(弧度)
l和b是这个点的纬度和经度值。
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其中:t=tanB，η2=e'2cos2B，
c，C0，C1，C2，C3，C4和E2是椭球常数。
(2)高斯投影(x，y→B，L)的逆计算
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其中:t=tanBf，η2=e'2cos2Bf，k1k2，k3，k4为椭球常数。
各坐标系的椭球常数见表4-1。
表4-1大地坐标椭球常数
国家测绘局用的公式更容易编程。由于高斯投影的正反算是在同一个椭球下进行的，所以公式严谨，没有误差，计算机操作非常方便。现在网上很多软件都有这个功能。度、分、秒以小数形式输入，度在小数点前，分在小数点后前两位，秒在后两位，秒在小数部分。比如25.23451124的值就是25 23' 45.1124”，正反算就变成了一件很简单的事情。高斯正演计算和反演计算都必须考虑椭球的参数，不同椭球的结果是不同的。必须考虑中央经线的位置。因为每个区域都有重复的点，所以该字段验证需要使用3度区域，并且所有Y坐标都必须具有3度区域的波段号。不允许使用独立坐标系或假设坐标系。
(2)参考中心坐标与直角空间坐标的关系。
空间直角坐标X、Y和Z与大地坐标B、L和H之间的关系表示如下:
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大地坐标b、l和h与空间直角坐标x、y和z之间的关系表示如下:
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公式
在转换中，对于不知道椭球体高度的控制点，可以将控制点的大地高设置为0，三维变成二维，效果更好。
(3)坐标系统转换
北京坐标系从1954转换到Xi坐标系从1980通常有两种方法:四参数转换法和七参数转换法。
1.四参数变换法
所谓四参数变换，就是两个平移参数，一个旋转参数，一个缩放比例。无论任何椭球体，都可以根据平面坐标直接在小范围内平移、旋转和缩放。最低条件是两个普通* * *点。当共有* * *点较多时，可采用最小二乘法删除残差较大的点。这在面积较小的情况下是可能的，一般不超过40平方公里。四参数转换模型如下:
x2 =δx+x 1(1+m)cosa-y(1+m)Sina
y2 =δx+x 1(1+m)Sina-y(1+m)cosa
2.七参数转换方法
该方法适用于椭球体之间的坐标转换。其实质是原椭球空间的直角坐标(X1，Y1，Z1)与新椭球空间的直角坐标(X2，Y2，Z2)之间的变换。椭球体之间的坐标变换需要至少三个公共点来求解七个参数。在转换公式中使用Bursa公式，在法方程的求解中使用高斯消元法。线性代数中的算法高斯消去法，可以用来解线性方程组，求矩阵的秩，求可逆方阵的逆矩阵。当应用于一个矩阵时，高斯消去法会产生一个“行梯阵列”。高斯消元法可以在计算机中用来求解数以千计的方程和未知数。迭代法的残差比消元法的残差大。
椭球体之间的坐标变换适用于基于椭球体的参数(地心)坐标系之间的变换，不适用于基于平面的独立坐标系之间以及独立坐标系与参数(地心)坐标系之间的变换。在基于椭球(七参数)的坐标变换中，椭球到椭球的变换实际上是在空间直角坐标系中完成的。完整的转换过程如下(以“平面→平面”为例):(x1，y1，h1) → (b1，l1，h1) → (x1)。首先将直角坐标系中的直角坐标，即原公点中的北京坐标1954，转换为2000的国家大地经纬度坐标，再转换为北京坐标系中的参考中心坐标1954，公点的Xi安坐标也进行转换。利用两个椭球体的参数中心(地心)的坐标得到转换参数，利用该参数将北京坐标系1954中的坐标直接转换为Xi安坐标系1980中的坐标。在上述过程中，高程H1和H2为大地高(椭球高)。大地高=测区正常高+异常高。如果不需要转换高程，可以将高程和高程异常设置为0。不能直接代入1954北京坐标系坐标带来的正常高。
七个参数的转换模型如下:
(1)七参数转换模型
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其中:δ b和δ l为两个坐标系中同一点的纬度差和经度差(弧度)；
a、δf为椭球长半轴之差(米)与扁率之差(无量纲)；
x、δ y、δ z为平移参数(米)；
εx，εy，εz为旋转参数(弧度)；
m是标度参数(无量纲)。
至少可以求解三个公共点得到七个参数。
(2)三维七参数转换模型
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其中:δ b、δ l、δ h为两个坐标系中同一点的纬度差(弧度)、经度差(弧度)、大地高差(米)；
ρ是一弧度的秒值，180×3600/π弧度/秒；
a是椭球长半轴之差(m)；
f是平坦度差(无量纲)；
x、δ y、δ z为平移参数(米)；
εx，εy，εz为旋转参数(弧度)；
m是标度参数(无量纲)。
至少可以求解三个公共点得到七个参数。
这七个参数适用于整个测区的转换。面积小于2000平方公里的可以一次性改造，面积大的可以分区改造。公共点应选择在分区之间，以确保数据连接的准确性。关于残差，国家规定以1∶2000的地图为例，地图上的残差为0.1 mm，即实地为20 cm，删除超过中误差3倍的点。为了保证矿业权拐点转换的精度，矿业权实地核查一般不适合使用0.1 m的残差，实际上比国家规定的精度还要严格，相当于国家规定的1/6。
(4)利用坐标转换软件进行坐标转换。
上面已经介绍了北京坐标系1954与Xi坐标系1980之间的转换理论，可以使用相关软件完成实际转换。目前市场上有多种坐标转换软件可供选择。在选择软件时，应注意部分软件转换的精度可能无法满足本次矿业权实地核查的要求。下面以景甜测绘科技公司开发的测量计算工具包软件V4.05为例介绍坐标转换方法。
软件界面如图4-3所示。该软件可用于高斯正演计算、高斯反算、坐标变换和椭球转换，可批量导入，可保存数据和公共点，并包含坐标转换所需的相关计算功能。此外，该软件还可以实现2000年国家大地坐标系与1954北京坐标系、1980 Xi安坐标系、WGS-84坐标系和独立坐标系之间的转换。
图4-3景甜测绘科技公司开发的测量计算工具包软件界面
坐标系转换可以采用平面坐标转换中的多公共点相似转换和椭球坐标转换。小区域可以使用多共* *点相似性变换。限400平方公里左右，不超过1 1: 50000地图。与中央经线无关，标高需要设置为0。用于计算参数的输入文件是一个文本文件，格式如下:
点，原始x坐标，原始y坐标，新x坐标，新y坐标。
要转换的输入文件格式是:
点，原始x坐标，原始y坐标
参数计算点不超过30个，可以导入文件，可以保存公共点，也可以保存参数。可以导入转换后的坐标，也可以保存转换后的坐标。应当注意，转换的坐标的位数应当与计算的参数的位数一致。计算参数没有符号，转换后的坐标也没有符号。在图4-4的计算例子中，X省略了前4位，Y省略了前3位。
图4-4多公共* *点平面相似性转换窗口
7参数转换应用于大面积测量。在椭球体之间的坐标转换开关下，有四个子开关:平面-平面、地球-平面、平面-地球和地球-地球。对于采矿权，可以使用平面-平面；探矿权使用迪达-迪达法，小数点后位数较多，必要时可删除尾部。输入文件格式同上，要求中央经线，不标注Y坐标。如果北京坐标1954和Xi安坐标1980的大地高未知，可以在高程栏中输入0，在测区高程异常中输入0。探矿权采用大地坐标格式，前3位小数为'，后2位为"，第3、4位为"。例如108 33' 15 "8563，输入108.33158563，由于控制点的坐标为X和Y格式，可以通过高斯投影反算将控制点转换为大地坐标格式。或者用高斯坐标正算将探矿权登记坐标转换为直角坐标，再用高斯坐标反算将1980 Xi安坐标转换为2000国家坐标。图4-5是某县的矿业权转换流程，Y坐标省略了前三位。
图4-5椭球体之间的平面坐标转换窗口
需要注意的是，软件没有经过软件狗加密，只能注册使用。用机器码注册，一台电脑只能安装一个软件。