数学史上有过三次危机。这三个危机是什么？
第一次数学危机
第一次数学危机发生在400年前。在古希腊，毕达哥拉斯学派反对它。数数？定义了任何数都可以写成两个整数的商，即所有数都是有理数。
但是这个学派的弟子希帕索斯发现边长是？1?正方形，它的对角线是2？无法写出两个整数的商，找到了第一个无理数。
毕达哥拉斯的其他弟子知道后，为了维护教派的合法性，杀死了希帕索斯，并把他扔进了海里。好像古人解决不了问题的时候，就先解决了提问题的人。
即便如此，无理数的发现很快引发了一场数学革命，被称为第一次数学危机，影响了近两千年的数学史。
第二次数学危机
微积分是一项伟大的发明。牛顿和莱布尼茨都是微积分的发明者，他们的发现理念完全不同。但是，他们对微积分基本概念的定义是模棱两可的，这遭到了一些人的强烈反对和攻击，其中攻击最强烈的是英国大主教贝克勒，他提出了一个悖论:
从微积分的推导中，我们可以看到△x作为分母时不为零，但在最终公式中等于零。这个矛盾是灾难性的，数学家很长时间都找不到解决方案。直到微积分发明后100多年，法国数学家柯西用极限定义无穷小，这个问题才彻底解决。
第三次数学危机
数学家总有一个梦想，试图建立一些基本公理，然后用严格的数理逻辑推导证明数学的所有定理；康托尔发明集合论后，数学家们看到了曙光。法国科学家庞加莱认为:我们可以借助组合理论来建造整个数学大厦。
正当数学家们高兴的时候，英国哲学家、逻辑学家罗素提出了一个惊人的悖论罗素悖论:
罗素悖论被通俗地描述为:在某个城市，一个名声传遍全城的理发师说:我要给这个城市所有不刮自己的人刮胡子，我只刮这些人。？那理发师自己的脸应该由谁来刮呢？
罗素悖论的提出引发了数学的又一次危机。数学家辛辛苦苦建了一座数学大厦，最后发现地基其实是有缺陷的，数学家提出了自己的解决方案。直到1908才建立了第一个公理化集合论体系，弥补了集合论的缺陷。
虽然解决了三次数学危机，但对数学史的影响是非常深远的。数学家试图建立一个严格的数学体系，但是再仔细也会有缺陷，包括后来发现的哥德尔不完全定理。