(2007?丰台区2号模型)已知:如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC = 10。而E点在下底BC上，F点在腰a上。

梯形的周长为24，高为4，面积为28。

将f点作为g中的FG⊥BC传递，

∴bk=12(bc-ad)=12×(10-4)=3，

∴AK=AB2？BK2=4，

∵EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长度为x，

∴BF=12-x，

将a点作为k中的AK⊥BC传递

∴△BFG∽△BAK，

∴FGAK=BFBA，

即:FG4 = 12？x5，

那么就可以得到:FG=12？x5×4

∴S△BEF=12BE？FG =-25 x2+245 x(7≤x≤10)；

(2)存在。

from(1):-25 x2+245 x = 14，

x2-12x+35=0，

(x-7)(x-5)=0，

解是x1=7，x2=5。

∴有一条线段EF同时等分等腰梯形ABCD的周长和面积，此时be = 7；

(3)不存在。

假设存在，显然是:s △ bef: safecd = 1: 3，(be+BF):(AF+AD+DC+CE)= 1:3(1分)

梯形ABCD的四分之一周长是6，四分之一面积是7。因为BE=x，

所以BF=(6-x)，FG=(6？x)×45，

所以△BEF的面积是(6？x)×4？x5×12=7，

整理:-2x2+12x-35=0，

△=144-280<0

没有这个实数x。

也就是没有线段EF把等腰梯形ABCD的周长和面积分成两部分:1: 3。