cosx+xsinx的导数过程
xcosx=xcosx
导数，也叫导函数值和微信商，是微积分中一个重要的基本概念，是函数的局部性质。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有点上都有导数。如果函数的导数存在于某一点，就说它在这一点上是导数，否则就叫非导数。但是，可导函数必须是连续的；不连续函数必须是不可微的。
中文名
衍生物
外国名字
导数
提出者
牛顿，莱布尼茨
展示时间
17世纪
应用领域
数学(微积分)，物理
历史的发展
起源
1629年前后，法国数学家费马研究了作曲线切线和求函数极值的方法；1637左右，他写了一篇手稿《求最大值和最小值的方法》。在做切线的时候，他构造了差f(A+E)-f(A)，发现因子E就是我们所说的导数f’(A)。
发展
17世纪生产力的发展促进了自然科学技术的发展。在前人创造性研究的基础上，伟大的数学家牛顿和莱布尼茨开始从不同的角度系统地研究微积分。牛顿的微积分理论叫做“流数术”。他把变量叫做流，把变量的变化率叫做流数，相当于我们所说的导数。牛顿关于“流数论”的主要著作有《求曲多边形的面积》、《利用无穷多项式方程的计算方法》、《流数论与无穷级数》。流数论的精髓总结如下:他的重点是一元函数，而不是多元方程；它在于自变量的变化与函数的变化之比的构成；最重要的是确定当变化趋于零时这个比值的极限。
导数
如果函数y=f(x)在开区间上的每一点都是可微的，就说函数f(x)在区间上是可微的。此时，函数y=f(x)对于区间内x的每一个确定值都对应一个确定的导数值，构成一个新的函数，称为原函数y=f(x)的导函数，简称为y '，f'(x)，dy/dx或df(x)/dx。
导数是微积分的重要支柱。牛顿和莱布尼茨对此做出了贡献。
几何意义
函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义:表示函数曲线在P0(x0，f(x0))处的切线斜率(导数的几何意义是函数曲线在该点的切线斜率)。
导数的计算
已知函数的导函数可以根据导数的定义，利用变化率的极限来计算。在实际计算中，大多数常见的解析函数都可以看作是一些简单函数的和、差、积、商或互复合的结果。只要知道这些简单函数的导函数，就可以根据导数定律计算更复杂函数的导函数。
导数的求导法则
由基本函数的和、差、积、商或互复合而成的函数的导函数，可由函数的求导法则推出。基本推导规则如下:
1，求导的线性:求导函数的线性组合相当于先求各部分的导数，再求线性组合(即公式①)。
2.两个函数乘积的导函数:一个导数乘以二+一个导数乘以二(即公式②)。
3.两个函数的商的导函数也是分数:(导数乘以母-导数乘以母)除以母的平方(即公式③)。
4.如果有复合函数，用链式法则推导。
导数和函数的性质
单调性
(1)如果导数大于零，则单调递增；如果导数小于零，则单调递减；导数等于零是函数的驻点，不一定是极值点。判断单调性需要求入口点左右两边值的导数。
(2)如果已知函数是增函数，导数大于等于零；如果已知函数是减函数，导数小于或等于零。
根据微积分的基本定理，对于可微函数，有:
如果函数的导函数在某个区间内总是大于零(或总是小于零)，那么函数在这个区间内单调递增(或单调递减)，也称为函数的单调区间。导函数等于零的点称为函数的驻点，在这个点上，函数可能得到最大值或最小值(即极值可疑点)。进一步的判断需要知道附近导函数的符号。对于一个满足点，如果它存在使得它在前面的区间大于等于零，在后面的区间小于等于零，则它是一个最大值点，反之亦然。
当x改变时，函数(蓝色曲线)的切线也改变。函数的导数值就是切线的斜率，绿色代表它的正值，红色代表它的负值，黑色代表它的零值。
凹凸的
可微函数的凹凸性与其导数的单调性有关。如果函数的导函数在某个区间内单调递增，那么这个区间内的函数向下凹，否则向上凸。如果二阶导函数存在，也可以通过它的正负来判断。如果在某个区间内总是大于零，则该函数在这个区间内是向下凹的，而在这个区间内是向上凸的。曲线的凹凸边界点称为曲线的拐点。
幂函数
幂函数也可以用同样的方法证明。
说白了，导数其实就是一条曲线的切线的斜率和函数值的变化率。
当然上面说的分母趋向于零，但是别忘了分子也可能趋向于零，所以两者之比可能是某个数。如果分子倾向于某个数而不是零，那么比值会很大，可以认为是无穷大，也就是我们所说的导数不存在。
设y=x/x，如果这里x趋于零，分母也趋于零，但是他们的比值是1，所以极限是1。
连续非导数曲线
比如Weierstrass函数就是一种处处连续不求导的实函数。Weierstrass函数是一个不能用笔画出任何部分的函数，因为每个点的导数是不存在的，画家无法知道每个点应该画哪个方向。维尔斯特拉斯函数各点的斜率也不存在。Weierstrass函数是以19世纪德国数学家卡尔·西奥多·威廉·weier strass(1815–1897)的名字命名的。历史上，维尔斯特拉斯函数是著名的数学反例。在维尔斯特拉斯之前，数学家对函数的连续性并没有深刻的理解。很多数学家认为，一条连续的函数曲线，除了少数几个特殊点，在每一点上总有一个斜率。维尔斯特拉斯函数的出现表明了所谓“病态”函数的存在，改变了当时数学家对连续函数的看法。