用凸函数证明积分不等式的典型例子

凸函数是一种重要的函数，在许多学科中都有广泛的应用。目前，新类型的广义凸函数不断涌现，对广义凸函数及其应用的研究一直是一个活跃的研究课题。特别是对广义凸函数的Hermite-Hadamard不等式的研究得到了进一步的完善。

在1881中，Hermite首先提出了凸函数的一个积分不等式。

设f(x)是[a，b]上的凸函数，则(b-a)f(a+b/2)≤∫BAF(x)dx ≤( b-a)f(a)+f(b)/2。

在1893中，哈达玛证明了以下不等式。

设f(x)是[a，b]上的凸函数，则f(a+b/2)≤1/b-a∫BAF(x)da≤f(a)+f(b)/2。(1)

称之为(1) Hermite-Hadamard积分不等式。

Hermite-Hadamard积分不等式是凸函数中的经典不等式，它是随着凸函数的发展而发展起来的。凸函数上Hermite-Hadamard积分不等式的改进、推广和应用一直受到国内外学者的关注。