有哪些数学家？
费马出生于法国南部图卢兹附近的博蒙特，1601。他的父亲是一名商人，费马从小接受良好的家庭教育。他在大学学习法律，毕业后成为一名律师。从30岁开始，他就开始迷恋数学。直到去世，他的精神世界被数学牢牢统治了34年。费马造就了许多数学家和哲学家，如梅森、罗布瓦、梅朵、笛卡尔等。他们每周在梅森公寓会面一次，讨论科学和研究数学。除了这些，费马还经常和朋友交流数学研究，但对发表作品很冷漠。费马活着的时候没有出版过完整的作品。他死后，他的儿子塞缪尔·费马在数学家的帮助下，整理了费马的笔记、注释和信件，并在图卢兹出版。
高等数学发展的起点是解析几何和微积分。费马为此做出了巨大贡献。从费马与罗博瓦和帕斯卡的通信中，我们可以看出，他至少在笛卡尔的《几何》出版之前八年就已经相当清楚地掌握了解析几何的一些基本原理。费马在《平面和三维轨迹导论》中得出了一些重要结论，也在一定程度上掌握了通过移轴和旋转轴简化方法的技巧。解析几何中圆锥曲线的研究已初步系统化。所以，费马和笛卡尔分享创立解析几何的荣誉是当之无愧的。
费马也是微积分的先驱。微积分的发明者牛顿曾坦言，“我从费马正切法中获得了这种方法的灵感，我把它推广开来，直接依次应用到抽象方程中。”费马致力于从透镜设计和光学理论的研究中探索曲线的切线。1692年，他在手稿《求最大值和最小值的方法》中提出了求切线的方法。但当时的费马并没有明确的极限概念，也没有得出导数是正切的结论，因此与微积分失之交臂，只能作为微积分的杰出先驱而载入史册。
费马还发起了现代数论的研究。对对数性质的研究始于古希腊数学家欧几里德、丢番图等人，但他们的研究缺乏系统性。费马注意到了这个问题，并指出对数性质的研究应该有自己的园——(整数)数论。同时，费马认为素数的研究在数论中非常重要，因为数论中的大量问题都与素数有关。费马在这一领域的研究成果是数学众多部门中最杰出的，其中最著名的是费马小定理和费马大定理。值得一提的是，费马大定理困扰了数学界300多年，直到1993才被普林斯顿大学的数学教授安德鲁·怀尔斯完全证明。在“完全数”的研究中，费马也有两个重要的结论。这两个结论虽然没能解决求完全数的方法，但在解决问题上前进了一大步。
1653年，一位法国骑士梅勒问帕斯卡“赌分的问题”。1654年，帕斯卡把这个问题告诉了费马，费马研究后得到了和帕斯卡一样的结果。由于对费马、帕斯卡和惠更斯的深入研究，卡尔达诺等人在16世纪开始探索的赌博问题被数学家们广泛研究，使数学进一步理论化，形成了经典概率论。可以说费马点燃了经典概率论的火种。
毫无疑问，费马虽然是个业余数学家，但他在微积分、解析几何、概率论、数论等领域都做出了开创性的贡献。他在数学史上的作用和地位不可低估。
2.欧拉，一位盲人数学家
欧拉的惊人成就并非偶然。他可以在任何恶劣的环境下工作，经常把孩子抱在膝盖上完成论文，不顾大孩子的吵闹。28岁时，欧拉不幸一只眼睛失明。30年后，他的另一只眼睛也失明了。他失明后，从未停止学习数学。他以惊人的毅力和毅力继续工作。从失明到去世的十七年间，他还写了几本书，口头发表了约400篇论文。欧拉全集出版难度很大，因为作品很多。瑞士自然科学学会在1909年开始整理出版它们，直到现在还没有完成。计划是72卷。
在他的886部作品中，有530部是他生前出版的书籍和论文，其中很多是教科书。他的作品通顺、朴实、通俗易懂，读后引人入胜，令读者大为赞叹。特别值得一提的是，他编写的平面三角形教材使用了sinx、cosx、...诸如此类，沿用至今。
欧拉于1720年秋进入巴塞尔大学。由于他非凡的勤奋和聪明，约翰·伯努利尝过他的甜头，并给予了他特殊的指导。欧拉努力工作，与约翰的两个儿子尼古拉斯·博和丹尼尔·伯努利成了亲密的朋友。
欧拉在19岁时写了一篇关于桅杆的论文，获得了巴黎科学院的奖励，从此开始了他的创作生涯。我连续获得了许多奖项。1725年，丹尼尔兄弟去了俄国，向沙皇卡德林一世推荐了欧拉，于是欧拉于17年5月到达彼得堡，丹尼尔于1733年回到巴塞尔。欧拉在26岁时接替他成为彼得堡科学院的数学教授。
1735年，欧拉解决了天文学中的一个难题(计算彗星的轨道)。
几个著名的数学家花了几个月才解决了这个问题，但是欧拉三天就发明了。但过度劳累让他患上了眼疾，不幸右眼失明。此时，他才28岁。
从1741—1766应普鲁士腓特烈大帝的邀请，欧拉在柏林担任柏林科学院物理与数学研究所所长。1766年，被俄国沙皇卡德林二世雇回彼得堡。没想到没过多久，他的左眼视力下降，只能隐约看到前方的物体，最后完全失明。这时，欧拉已年近六十。
不幸的事情接踵而至。1771年，彼得堡发生火灾，损坏了欧拉的房子。64岁的欧拉因病失明，被困在大火中。紧急时刻，一名为他做家务的工人冒着生命危险冲进火场救出欧拉。欧拉的书库和一大堆研究成果都化为灰烬。沉重的打击依然没有把欧拉打倒。他发誓要追回损失。欧拉在完全失明前，左眼仍能模糊地看见东西。他抓住最后的时刻，把找到的公式潦草地写在一块大黑板上，然后口述其内容，由他的学生和大儿子A·欧拉(1734-1800，也是数学家和物理学家)记录下来。欧拉双目全盲后，仍以惊人的毅力与黑暗抗争，用记忆和心算学习，直到去世。
欧拉的记忆力和心算能力是少有的。他能复述年轻时笔记的内容，高等数学也能背得滚瓜烂熟。有一次，欧拉的两个学生分别把一个非常复杂的收敛级数的17项加起来，到第50位时，差了一个单位。为了确定谁做了正确的计算，欧拉把所有的计算都背下来，最后找出了错误。在他失明的十七年里，欧拉还解决了月球偏离(月球运动)问题和许多让牛顿头疼的复杂解析问题。
欧拉的格调很高，拉格朗是继欧拉之后的伟大数学家。从19岁开始与欧拉交流，讨论等周问题的通解，导致变分法的诞生。等周问题已经被欧拉仔细考虑了许多年。拉格朗理论的解决赢得了欧拉的热烈赞扬。1759，10年2月2日，欧拉在回信中赞扬了拉格朗的成就，并谦虚地暂时压制了他在这方面不成熟的作品，使年轻的拉格朗的作品得以出版和流传，赢得了巨大的声誉。“变分法”这个术语是欧拉在1766年杜撰出来的，他对变分法推广的巨大贡献是不可埋没的。
1783年9月的一天下午，欧拉请朋友吃饭，庆祝他成功计算出气球上升定律。当时，天王星被发现后不久，欧拉就写出了计算天王星轨道的要领，还和孙子开了个玩笑。喝完茶后，他突然生病了，烟斗从手里掉了下来...欧拉就这样“停止了生活和计算”。
历史学家把欧拉、阿基米德、牛顿和高斯列为历史上最伟大的四位数学家。他们有一个显著的相似之处，就是在创造纯理论的同时，他们也应用这些数学工具来解决天文学、物理学和力学中的大量实际问题。他们的工作往往是跨学科的，他们不断从实践中汲取丰富的营养，但他们并不满足于解决具体问题，而是试图探索宇宙的奥秘，揭示其内在规律。
欧拉留下的丰富科学遗产中，分析、代数和数论占4o%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海科学、建筑学等问题占3%。他的《无穷小分析导论》于65438-0748年在瑞士洛桑出版，是一部划时代的巨著，也是世界上第一部完整系统的分析著作。
3.一个学习成绩很差的数学大师——埃尔米特。
他是19世纪最伟大的代数几何学家，但他五次重考高考，每次都因为数学考得不好而失败。他大学勉强毕业，每次考试不及格都是为了数学科目。大学毕业后，他考不上任何研究生，因为他考得不好的科目是数学。数学是他一生的挚爱，但数学考试却是他一生的噩梦。但是，这并不能改变他的伟大:他在教科书中首次提出了“* * *轭矩阵”，他求解了一千多年的“五次方程的通解”。他是世界上第一个证明自然对数超越性的人。他的一生证明了“一个考不上的人还能有赢家？quot而更奇妙的是，不考成了他一生的幸事。这是怎么发生的？嗯（表示踌躇等）...也许你能在这篇文章里找到答案！打开欧洲地图，有一张小地图嵌在法国东北角，名为洛林。
此地自古以来就是兵家必争之地，因为北面的莱茵河河口，南面的马恩河可以直通巴黎；濒临的阿登是军事制高点；该地层含有欧洲最大的铁矿石。早在神圣罗马帝国时期，洛林草原就沾满了骑士的鲜血；1871德国血腥的士兵蹂躏法国之后，要求法国割让的土地就是洛林。
革命者的血统
经过百年战乱，洛林留下了一批勤劳而富有哲理的法国人，他们能够面对环境的艰苦。查尔斯·埃尔米特(1822 12.24)出生在洛林的一个小村庄迪厄格。他的父母和祖父母都参加过法国大革命。他的祖父在革命后被极端政治集团逮捕，后来死于狱中。一些亲戚死在断头台上；他的父亲是一名杰出的冶金工程师，因为被公社通缉，他逃到了法国边境的洛林小村庄，在一个铁矿隐姓埋名当矿工。
铁矿的主人叫拉勒芒(Lallemand)，一个标准而坚韧的洛林人，他有一个比他强壮的女儿玛德琳(Madeleine)。在那个保守的年代，玛德琳以“敢在户外穿不穿裙子的裤子”而出名，对矿工的管理也很激烈。但一遇到这个来自巴黎的工程师，她就软了下来，知道对方是被寻死还是嫁给他，还为他生了7个孩子。埃尔米特在七个孩子中排行第五。他生来右脚残疾，需要拄着拐杖走路。他一半有着父亲优秀的智力和理想奋斗的血液，另一半有着母亲敢做敢为、爱恨交加的洛林坚强的血液，这是他非凡事业的第一个标志。
从大师那里理解数学美
埃尔米特从小就是个问题学生。他总是喜欢在课堂上和老师争论，尤其是一些基本问题。他特别讨厌考试；后来我写道:“学习如海，考试如钩。老师总是把鱼挂在鱼钩上，那么鱼怎么才能学会在海里自由游动和平衡呢？”老师看他考得不好，就用木棍打他的脚。他讨厌它。后来写的？quot教育的目的是用脑，而不是用脚。踢有什么用？踢腿能让人变聪明吗？“他数学考得特别差，主要是因为他数学特别好；他说的话甚至把数学老师气疯了。他说:“数学课就是一滩臭水，一堆垃圾。数学成绩好的都是二流的人，因为他们只知道搬垃圾。“他假装是一流的科学狂人。然而，他说的是真的。历史上最伟大的数学家大多来自文学、外交、工程、军事等领域。它们与数学毫无关系。埃尔米特花了很多时间阅读数学家的原著，比如牛顿和高斯。他认为只有在那里我们才能发现数学的美，只有在那里我们才能回到争论的基本点，才能得到数学兴奋的源泉。”晚年，他回忆起青年时代的轻浮，写道:“传统的数学教育要求学生循序渐进地学习，培养他们将数学应用于工程或商业，因此并没有激发学生的创造力。但数学自有其抽象逻辑之美。比如在求解多个平方的程序中，根的存在本身就是一种美。数学的价值不仅仅是为了生活中的应用，也不应该沦为工程和商业应用的工具。数学的突破还是需要不断突破现有的格局。"
孝顺天才
埃尔米特的表现让他的父母很担心，他们把他送到巴黎的“路易-勒-格兰德”，但恳求他好好学习，并愿意支付更多的钱。因为数学天赋出众，他无法把自己放入数学教育的模子里，但为了遵从父母的意愿，他每天都要面对那些细微而复杂的计算，这让他无比痛苦。这个孝顺的天才，似乎注定要折磨自己一辈子。巴黎理工学院的入学考试每年举行两次。他18岁开始考，第五次考试才以鹤尾的成绩通过。在此期间，当他几乎要放弃的时候，他遇到了一个数学老师，理查德。理查德老师对埃尔米特说:“我相信你是继拉格朗日之后的第二个数学天才。”拉格朗被誉为数学界的贝多芬，他的近似求根解法被誉为“数学的诗”。但是埃尔米特的天赋还不够。理查德老师说:“你需要上帝的恩典和坚持来完成你的学业，这样你才不会被你认为是垃圾的传统教育所牺牲。”所以，他一次又一次的失败，却继续考试。
一个骑在蜗牛背上的人
埃尔米特进入技术学院一年后，法国教育当局突然下了一道命令:身体有残疾的人不得进入工程系，埃尔米特只好转到文学系。文学系的数学已经轻松很多了，结果他数学还是不及格。有趣的是，与此同时，他在法国数学研究期刊《纯粹与应用数学杂志》上发表了《关于五次方程解的思考》，震惊了数学界。
在人类历史上，三世纪的希腊数学家发现了一阶方程和二阶方程的解。之后很多一流的数学家一直在苦思四阶方程的n次方的解，始终找不到解。没想到，三百年后，一个文学系的学生，一个经常数学考试不及格的学生，竟然提出了正确的解法。埃尔米特知道自己已经“被数学的开创性研究深深毒害，深深热爱”。幸运的是，他的好朋友伯特兰很快帮助他补上了他在学校将要学的数学。对于这位开拓性的天才来说，僵化的数学教育带来的是无尽的痛苦；只有友情的理解和鼓励，才能支撑他走下去，才能让他在24岁以边缘的成绩大学毕业。无法应付考试，无法继续学业，只好找学校帮他批改学生作业。我做助教已经快二十五年了。虽然他在这二十五年里发表了代数连分数论、函数论、方程论，在全世界都有名气，数学水平远超当时所有大学教授，但他不能考试。没有高级学位，Hermite只能继续批改学生的作业。社会现实对他来说是如此的残酷和无知。
不考试的老师
是什么促使埃尔米特不玩世不恭地前进？有三个重要因素，一个是老婆的理解和同心度。埃尔米特的妻子，也就是他大学时好朋友伯特兰的妹妹，无怨无悔地跟着这个考不上的天才丈夫，年复一年地走下去。第二，有些人是真的欣赏他，并不会因为他身体残疾，缺少一个耀眼的程度而鄙视他。钦佩他的人后来在数学领域声名鹊起——包括因研究无穷级数的敛散性和微分方程而闻名的柯西，因发表椭圆函数和行列式理论而闻名的雅可比，以及《纯粹与应用数学杂志》主编约瑟夫·刘维尔。这些都是野心家，互相欣赏，出身于真正的专家，比考高分的一点点虚荣心，更能支撑一个失败者走很长的路。第三是埃尔米特的信仰。埃尔米特43岁时病重。柯西来看他，向他传播福音。信仰给了他另一种价值和满足感。当埃尔米特49岁时，巴黎大学请他当教授。在接下来的二十五年里，几乎所有伟大的法国数学家都出自他的门下。我们不知道他是怎么上课的，但有一点是肯定的——没有考试。
在三角几何中认识另一个世界
考不上给他带来很多烦恼:工作不顺利，多次重考，别人看不起他，他自卑。但这给他带来了很多祝福:认识了妻子，认识了朋友，认识了信仰，认识了他整个人生的成熟。后来，加州理工学院数学系教授贝尔在《历史上伟大的数学家回顾》中的一段话中这样描述埃尔米特:历史上越是天才的数学家，越是愤世嫉俗，说话越是嘲讽。只有一个例外，那就是埃尔米特，他拥有真正完美的人格。埃尔米特死于1901 65438+10月4日。晚年他写道:“三角几何是永恒不朽的。自然界中没有什么是绝对的三角形，但人类的头脑中有一个完美的绝对的三角形来衡量外部的形状。没有人知道为什么三角形之和是180，也没有人知道为什么三角形最长的斜边对应最大的角。三角几何的这些基本特征不是人发明的，也不是人想象出来的，而是在人无知的时候就存在的，无论时空如何变化都不会改变。我只是一个偶然发现这些特征的人。三角几何的存在，证明了有一个永远不变的世界。”
4.数学奇才——伽罗瓦
1832年5月30日上午，一名年轻男子在巴黎格拉泽湖附近昏迷不醒。路过的农民判断他在一次决斗后受枪伤严重，于是将这个不知名的年轻人送往医院。第二天早上十点他就去世了。数学史上最年轻最有创造力的头脑停止了思考。人们说他的去世延缓了数学发展几十年。这个年轻人就是伽罗瓦，死时还不到21岁。
伽罗瓦出生在离巴黎不远的一个小镇上。他的父亲是学校的校长，并担任市长多年。家庭的影响让伽罗瓦总是勇敢无畏。1823年，12岁的伽罗瓦离开父母去巴黎留学。他不满足于枯燥的课堂灌输，自己去找最难的数学原研。一些老师也帮了他很多。老师们对他的评价是“只适合在数学前沿领域工作”。
1828年，17岁的伽罗瓦开始研究方程理论，创立了“置换群”的概念和方法，解决了几百年来令人头疼的方程求解问题。伽罗瓦最重要的成就是他提出了“群”的概念，用群论改变了数学的整个面貌。1829年5月，伽罗瓦写下了自己的成果，并提交给法国科学院，但这一杰作伴随着一系列的打击和不幸。先是父亲因为不堪忍受神父的诽谤而自杀，然后因为答辩简单深奥而未能进入著名的巴黎理工学校，令考官不满。至于他的论文，认为新概念太多，太简略，需要重写；有详细推导的第二稿因审稿人因病去世而缺失；6月提交的第三篇论文1831因审稿人不能完全理解而被拒绝。
年轻的伽罗瓦一方面追求数学的真知，另一方面致力于追求社会正义的事业。1831年法国“七月革命”中，伽罗瓦作为师范大学新生，带领群众上街抗议国王专制统治，不幸被捕。在狱中，他染上了霍乱。即使在如此恶劣的条件下，伽罗瓦出狱后仍继续他的数学研究，并写了一篇论文发表。出狱后不久，因为卷入一场无聊的“爱情”纠葛，死于一场决斗。
伽罗瓦于16年去世后，他的60页手稿出版，他的名字传遍了科学界。
5.数学之父泰勒斯
居鲁士生于公元前624年，是古希腊第一位著名的数学家。他曾经是一个精明的商人。在他通过销售橄榄油积累了可观的财富后，赛勒斯致力于科学研究和旅行。他勤奋好学，同时不迷信古人，勇于探索，勇于创造，积极思考。他的家乡离埃及不太远，所以他经常去埃及旅行。在那里，居鲁士了解了古埃及人几千年来积累的丰富的数学知识。当他在埃及旅行时，他用一种巧妙的方法计算出了金字塔的高度，这让古埃及的国王阿梅西斯很佩服他。
赛勒斯的方法巧妙而简单:选择一个阳光明媚的日子，在金字塔边缘竖起一根小木棍，然后观察木棍影子长度的变化。当影子长度正好等于木棍的长度时，迅速测量金字塔影子的长度，因为这时，金字塔的高度正好等于塔影的长度。也有人说，居鲁士是用棍影与塔影的长度之比等于棍高与塔高之比来计算金字塔的高度的。如果是这种情况，就要用到三角形对应边成比例的数学定理。居鲁士吹嘘他把这种方法教给了古埃及人，但事实可能恰恰相反。应该是埃及人很早就知道了类似的方法，只是满足于知道如何计算，而没有思考为什么这样做就能得到正确的答案。
在居鲁士之前，人们认识自然时，只满足于如何解释各种事物。居鲁士的伟大之处在于，他不仅能解释它，还为为什么添加了一个科学问号。古代东方人积累的数学知识，主要是从经验中总结出来的一些计算公式。赛勒斯认为，这样得到的计算公式在一个问题中可能是正确的，但在另一个问题中不一定是正确的。只有当它们在理论上被证明是普遍正确的，它们才能被广泛地用于解决实际问题。在人类文化发展的早期阶段，居鲁士有意识地提出这样的观点是难能可贵的。它赋予了数学特殊的科学意义，是数学发展史上的一大飞跃。这就是为什么赛勒斯被称为数学之父。赛勒斯首先证明了以下定理:
1.圆被任何直径一分为二。
2.等腰三角形的两个底角相等。
3.两条直线相交，顶角相等。
4.半圆的内接三角形一定是直角三角形。
5.如果两个三角形有一边，并且这一边的两个角相等，那么这两个三角形全等。
这个定理最早是由赛勒斯发现并证明的，后人通常称之为赛勒斯定理。据传说，居鲁士证明了这个定理后非常高兴，他宰杀了一头公牛来祭拜神灵。后来，他还用这个定理计算了海上的船与陆地的距离。
居鲁士还对古希腊的哲学和天文学做出了开创性的贡献。历史学家肯定赛勒斯应该被认为是第一个天文学家。他经常仰面躺着观察天上的星座，探索宇宙的奥秘。他的女仆经常开玩笑说，赛勒斯想知道远处的天空，却忽略了眼前的美景。根据数学史家希罗多德的考证，可知哈尔斯战争后白昼突然变成了黑夜(其实是日食)，而居鲁士在战前就已经预言到了这一点。
居鲁士的墓碑上有这样一段碑文:“天文学家之王的坟墓有点小，但他在星辰领域的荣耀是相当伟大的。”
6.几何学之父——欧几里德
我们现在研究的几何学是古希腊数学家欧几里德(公元前330年-公元前275年)创立的。他在公元前300年写的《几何原本》，2000多年来一直被视为学习几何的标准教科书，因此欧几里得被称为几何之父。
欧几里德出生于雅典，接受了希腊古典数学和各种科学文化，30岁成为著名学者。应埃及国王的邀请，他留在亚历山大，教学和做研究。
古希腊的数学研究历史非常悠久，也出现过一些关于几何的著作，但都是论述某一方面，内容不够系统。欧几里德收集了前人的成果，采用了前所未有的独特的写法，首先提出了定义、公理和公设，然后从简单到复杂证明了一系列定理，讨论了平面图形和立体图形，也讨论了整数、分数、比例等。，终于完成了杰作《几何原本》。
原作出版后，其手稿流传了1800多年。1482印刷出版后，再版约1000次，还被翻译成世界各大语种。13世纪传入中国，不久失传。前六卷在1607重译，后九卷在1857重译。
欧几里得擅长用简单的方法解决复杂的问题。他在人的身材正好等于高度的那一瞬间，测出了金字塔影子的长度，解决了当时无人能解决的金字塔高度的大问题。他说:“这时，塔影的长度就是金字塔的高度。”
欧几里得是一位温和而诚实的教育家。欧几里德也是一位严谨的学者。他反对学习上的投机取巧和追求名利，反对投机取巧和急功近利的作风。虽然欧几里得简化了他的几何，但国王(托勒密)还是不明白，想找到一条学习几何的捷径。欧几里德说:“在几何学中，每个人只能走一条路，没有为国王铺就的路。”这句话成为了流传千古的学习格言。有一次，他的一个学生问他，学几何有什么好处？他幽默地对仆人说:“给他三个硬币，因为他想从学习中得到真正的好处。”
欧几里得还写了已知的数和数的除法。
7.希尔伯特
希尔伯特(Hilbert，David，1862 ~ 1943)，德国数学家，出生于东普鲁士(前苏联加里宁格勒)哥尼斯堡附近的劳伟。中学时，希尔伯特是个好学的学生，对科学尤其是数学表现出浓厚的兴趣，善于灵活而深刻地掌握和运用老师讲课的内容。1880年，尽管父亲希望让他学习法律，他还是进入了哥尼斯堡大学学习数学。1884获得博士学位，后来获得讲师资格，在这所大学晋升为副教授。1893年被任命为正教授，1895年调到哥廷根大学任教授，此后一直在哥廷根生活工作，所以1930年退休。在此期间，他成为柏林科学院传播学院的成员，并获得了斯坦纳奖、罗巴切夫斯基奖和波义耳奖。1930年获得米塔·列夫勒瑞典学院科学奖，1942年成为柏林科学院荣誉院士。希尔伯特是一位正直的科学家。第一次世界大战前夕，他拒绝在德国出版的《致文明世界》一书上签名，进行欺骗性宣传。战争期间，他敢于发表文章纪念“敌方数学家”达布。希特勒上台后，抵制并著书反对纳粹排斥和迫害犹太科学家的政策。由于纳粹反动政策的愈演愈烈，许多科学家被迫移居国外，一度兴盛的哥廷根学派衰落，希尔伯特于1943年孤独终老。
希尔伯特是二十世纪对数学有深远影响的数学家之一。他领导了著名的哥廷根学派，使哥廷根大学成为当时世界上重要的数学研究中心，培养了一批杰出的数学家，为现代数学的发展做出了巨大贡献。希尔伯特的数学工作可以分为几个不同的时期，在每个时期他几乎都专注于一类问题。按时间顺序，他的主要研究内容有:不变量理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、普通数学基础，其中研究课题有:狄利克雷原理与变分法、韦林问题、特征值问题、“希尔伯特空间”等。在这些领域，他做出了巨大的或开创性的贡献。希尔伯特认为，科学在每个时代都有自己的问题，这些问题的解决对科学的发展具有深远的意义。他指出:“只要一个科学分支能够提出大量的问题，它就是充满活力的，问题的缺乏就表明独立发展的衰落和终止。”在巴黎1900国际数学家大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名演讲。根据过去特别是十九世纪数学研究的成就和发展趋势，他提出了23个最重要的数学问题。这23个问题统称为希尔伯特问题，后来成为许多数学家试图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深远的影响，起到了积极的推动作用。