曾荣源的技术成就。
从65438到0950到南大，曾教过很多课程，比如分析中的线性变换，近世代数，实变函数，泛函分析等等。在教学中，他能结合中国在古代数学方面的成就，启发学生的爱国思想，经常告诫学生不要轻视自己。比如他经常在《圆周率》里讲中国在古代的成就，通过大推导求一技之长，还有商高定理，主张以中国命名；在讨论高阶方程的数值解时，特别介绍了石琳-明方法。他对中国数学史很感兴趣。
他还非常积极地向学生推荐苏联作品。在没有出版中文版的时候，他选择苏联教材作为教学内容。让学生印象深刻的是他推荐了两本苏联的教材:哈ип的《实变函数论》。纳坦松和ллксч.吕斯特尼克(лкс)。他一方面讲解定理，一方面讲玄机，但是他写在黑板上的东西很简洁。定理一证明，他就拍拍手上的粉笔说:“太好了，太好了！”很多同学只做笔记，没有时间思考。怎么才能知道美呢？比如勒贝格测度的构造，维塔利覆盖引理及其意义，证明中选取区间的方法等。，他指出所有的细微之处，并经常在课堂上给出惊人的评论。
他的严格态度不仅仅是在教学方法上，还要求学生在学习数学的时候不能含糊，特别注意数学中一些模糊的说法。比如他说几乎处处连续这个词不好，应该说不连续点集是零集；学生要注意线性泛函的延拓定理的证明，因为有些文献是错误的。他强调甚至连人名都拼错了，比如把Lebesgue错读成Lebesque，把Hausdorff错读成Housodoff，给人留下了很深的印象。
20世纪50年代，曾经常在数学系开设新课程，目的是使学生获得新知识，跟上时代。因为当时语文教材非常缺乏，所以他自己写书，一边教，怕内容不成熟，就声明不会再有别人来听课了。有一次，一个复习老师坐下来听，没有问细节。突然，曾教授发现了，问他是哪个单位的，这让他感到很紧张。50年代中期，因为研究苏联，实行口试，每人限不超过30分钟。在一次实变函数论的考试中，每当有学生的答案不满意，就让他重新考虑，但是学生想了一段时间还是想不通，就让学生重新考虑。即使考卷上的题答得好，他也会提出补充问题，好像要让学生找出所有相关的问题。就这样，旁边备考教室的人越来越多，却很少有人离开考场。有很多人从早到晚考试，连饭都吃不下。在他看来，这是学习数学的一次锻炼，成为数学家必不可少。
曾教授是我国泛函分析领域的元老，也是我国第一位从事泛函分析研究的学者。早在20世纪30年代，曾教授就做出了许多重要贡献。从1932开始，他引入了无限维的实、复或四元数体上的线性空间，并在其上定义了内积——Hermite对称双线性泛函数(f，g)。他对这类空间进行了一系列的研究，包括有界泛函数的表示，无界自伴算子的特征值及其谱表示(他比国外一些著名学者，如F. Riesz，F. Rellich，Lowig和o . teichüller，更早得到一些结果)。在数学文献中，算子谱理论被称为“数学杰作”，主要指内积空间中的线性算子谱理论。曾的博士论文(发表于1936)是当时频谱理论发展的一个重要突破。在不可分的四元数内积空间中，研究了无界自伴算子的特征值问题，甚至给出了该算子仅有的三部分解:(a)绝对连续算子，(b)奇异连续算子，(c)点谱算子。此外，还进行了相应的固有扩展。特别地，Hellinger积分被用作两类连续谱算子的投影算子。在此之前，即使在研究可分希尔伯特空间中的有界厄米变换时，也没有三部解。在1942中，他在Banach空间和内积空间中引入了广义双正交系，扩展了国外工作者提出的问题，得到了较好的结果。希尔伯特空间及其线性算子的理论是泛函分析中最古老的分支。曾一直从事这方面的研究，他引入了实解和广义逆的概念。他利用现代算子理论研究了广泛的线性方程。
x’A 12 = G2，x∈D1(A)。(*)
其中A12是内积空间m1中的稠密集D1(A)到内积空间m2的闭算子，g2是m2中的已知元素。如果一个方程无解，叫做矛盾方程。他引入了矛盾方程的“矛盾度”ρ(0≤ρ≤1)，确定了ρ的具体表达式。他引入了“极其现实的解决方案”这一基本概念。元素x' δ被称为等式(*)的实际解，这意味着
而现实解中模最小的x'*，称为(*)的极现实解。当方程(*)有解时，现实解就是(真)解。他证明了极现实解的唯一性，得到了极现实解存在的充要条件，并估计了极现实解的范数。如果g2属于D2(A*)，那么原方程的现实解与正规方程相同。
x’a 12A * 21 = g2A * 21
巧合的真实解决方案，和
x′* = g2A * 21(q 11)-1，
这里q 11 = a 12a * 21。
设x′m是x′A 12 = g2的一个极其现实的解，且对于D2(A*)(与D1(Q)意义相似)中的任意u2，序列(u2，)收敛于(u2，G2)，则:①对于x′m的弱收敛，必要且仅必要‖。②对于x′m的强收敛性，有必要且仅必要。
在每一个收敛场合，x′m的极限都是x′a 12 = G2的极现实解。
他把这里的方法和谱理论结合起来求解二次通用函数。
F(x)=Q(x)+λ‖x‖2+L(x)+C
简化问题(Q(x)是无界闭二次齐次泛函，L(x)是有界线性泛函)，得到了解的充要条件和公式。如果m1=m2且算子A是自伴的(或正规的)，那么极其现实的解也具有Hilbert-Schmidt)- Carleman型的内在展开。
直到20世纪40年代，关于内积空间中逆算子问题的主要工作是有界无限矩阵的Toeplitz分类、G Julia的改进(只提出了7类)和Moore的广义逆矩阵。曾沿着一条根本不同的思路完成了对逆算子的系统研究(分为16类)。
设m1，m2为内积空间，A12为D1≡D1(A)到m2的(无界)线性算子，R21为m1的(无界)稠密线性算子。设P1和P2分别表示D2R21和D12上的正交投影算子，R21称为A12的广义逆算子，也就是说
A12R21=P1，R2112 = P2。他提出了广义逆算子存在的充要条件，证明了A12存在唯一的极大广义逆算子，并确定了其定义域。特别是恰好是方程x'A12=g2的极其现实的解。任何闭算子A12都有唯一的闭广义逆算子R21，得到表达式R21。为了使A12具有有界广义逆算子，方程X’a 12 = y2对于m2中的任意元素Y2有实解是必要且唯一的。他从几何的角度将闭算子(有界或无界)分为四类，每类又进一步分为四个子类，并对其中三类及其子类得出了它们的特征。
曾荣源提出并应用现实解和广义逆算子解决了L.O. Hesse标准型问题:任意函数方程x'A12=g2的Hesse标准型是，这里是B2的广义逆算子，W12和B2是A的唯一极坐标算子:A12=W12B2。实际上，对于m1中的任意一点H’，范数只是方程X’a 12 = G2的所有实解形成的“超平面”与H’之间的距离。
曾教授是公认的广义逆的创始人，人们称他为曾广义逆，在国际上有着广泛的影响。广义逆也渗透到计算数学的其他分支，成为计算数学的重要内容。
曾荣源也继续他在广义双正交系统方面的工作。他增加了1850的h .ккиBarry(бибAPи)和A.T. Taldykin (талдыкин).
E * ≦( E *(P′，P ″) | P′，P″∈P)
它是(半定)正Hermite矩阵。对于广义双正交系统(gp)(对于E*)的Gram矩阵EG有下模M * (EG) >: 0，Eh有Eg模是必要的也是唯一必要的。此时G系统的线性闭包中存在唯一的线性闭包算子B，使得hp=gpB，其中(hp)是G’系统(对于E*)的伴随系统，B是有界正定Hermite算子。作者还给出了b的显式公式，设两个元素(gp)和(hp)满足(gp′，gp″)= E *(P′，P ″, P′，P″∈P，一个系统的闭包包含在另一个系统的闭包中。如果G系统和H系统的Gram矩阵有互模，那么
在谱理论的基础上，利用Heeringer型积分的固有展开式具有重要意义。曾在这方面作过重要论述。他从复数上的内积空间中的正规算子的三个固有展开开始。
在本文中，F(ω)是一个连续函数，属于
Fα是A的内蕴元，gβ(w)是具体的内蕴微分元，hγ(w)是绝对连续的内蕴微分元，所有的指标集[α]，[β]和[γ]不一定是可数的。
10月，曾在济南召开的第二届全国泛函分析学术交流会上作了题为“泛函分析的作用与趋势”的报告。首次提出“普遍功能主义”作为一个新的数学分支。这里重要的是，它不是几个项目的“混合体”，而是各个学科融合形成的有机整体。比如报告特别强调代数拓扑，代数几何，微分几何，无限维空间(尤其是不可分空间)的微分拓扑。
从20世纪30年代初开始，曾教授致力于泛函分析的教学和研究已有60年。他工作一丝不苟，兢兢业业，培养和造就了一大批数学人才。
早在清华大学，他就招收徐贤秀为研究生。国际著名物理学家杨振宁博士在西南联大工作时，曾听过他的讲座。已故著名数学家、中国科学院系统科学研究所原所长、学部委员管教授就出自他的学校。解放前，作为他的优秀学生，还有著名数学家田芳增教授、江泽建教授和许立志教授。解放后，他积极培养新生力量，特别是多次培养研究生并指导南京大学机能理论教研室其他教师积极从事研究工作。他的学生在思维方法和对数学本质的理解上深受启发。在他的指导和带领下，他的学生大多成为副教授、教授，成为南京大学和其他高校(如浙江大学)的教学、科研骨干，有几位被评为博士生导师。
曾死于1994年2月。去世前不久，他虽已89岁高龄，但仍经常光顾南京大学数学系图书馆，查找和阅读资料，积极从事研究工作，掌握新的学术动态。经常向中青年教师提出研究方向的建议，向领导提出数学教育改革的看法。紫云:虽然退休了，但还是要努力工作，贡献自己的晚热。他不同意“废热”的说法，说后期的热度有时很强，这种为科学事业奉献一生的精神令人钦佩。