泛函分析
1概述
泛函分析是现代数学的一个分支，属于分析科学，主要研究对象是由函数组成的空间。泛函分析是从研究函数变换(如傅立叶变换)的性质和研究微分方程、积分方程发展而来的。用泛函作为表达式来源于变分法，表示用于函数的函数。斯特凡巴拿赫是泛函分析理论的主要创始人之一，而数学家和物理学家维托？VitoVolterra为泛函分析的广泛应用做出了巨大贡献。
2拓扑线性空间
因为泛函分析来源于对各种函数空间的研究，函数序列在函数空间中有不同类型的收敛(如逐点收敛、一致收敛、弱收敛等。)，说明函数空间中存在不同的拓扑。函数空间一般是无限维线性空间。所以抽象泛函分析研究的是具有一定拓扑的一般(无限维)线性空间。
拓扑线性空间的定义是具有拓扑结构的线性空间，使得线性空间的加法和乘法成为连续的映射空间。
巴拿赫空间
这是最常见和最广泛使用的拓扑线性空间。比如有限闭区间上的连续函数空间，有限闭区间上的k次可微函数空间。或者对于每一个实数p，如果p？1，Banach空间的例子是什么？所有绝对值积分收敛到p的幂的勒贝格可测函数？它所形成的空间。(参见Lp空间)
在Banach空间中，有相当一部分研究涉及到对偶空间的概念，即Banach空间中所有连续线性泛函形成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间不同，但从Banach空间到其对偶空间的一个对偶空间的同态总是可以构造的。
微分的概念可以在Banach空间中推广。微分算子作用于其上的所有函数，函数在给定点的微分是连续的线性映射。
希尔伯特空间
希尔伯特空间可以通过以下结论完全分类:对于任意两个希尔伯特空间，如果它们的基的基数相等，则它们一定是同构的。对于有限维希尔伯特空间，其上的连续线性算子就是线性代数中所研究的线性变换。对于无限维的Hilbert空间，其上的任何态射都可以分解为可数维(基数为50)的态射，所以泛函分析主要研究Hilbert空间及其可数维的态射。希尔伯特空间中一个尚未解决的问题是，对于希尔伯特空间中的每一个算子，是否存在一个真正不变的子空间。这个问题在某些具体情况下的答案是肯定的。
3操作员
在特定的函数空间中，我们对函数进行各种运算。最典型的操作是对函数求导。这样的操作一般称为运算符。作为拓扑空间之间的映射，我们总是可以要求算子是连续映射。拓扑线性空间中算子的研究构成了泛函分析的一个大的分支。
线性算子和线性泛函
最基本的算子是保持拓扑线性空间结构的算子，称为线性算子。如果像空间是拓扑线性空间(特别是一维拓扑线性空间)的数域，那么这样的算子就变成了线性泛函。
线性算子理论中有几个非常基本和重要的定理。
1.有一个统一定义的定理(也叫* * *明定理)，描述了一族有界算子的性质。
2.Hahn-BanachTheorem研究如何以保持范数的方式将算子从子空间扩展到整个空间。另一个相关的结果是对偶空间的非平凡性质。
3.开映射定理和闭像定理。
4.谱定理包含一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间中正规算子的积分表达式，在量子力学的数学描述中起着核心作用。
非线性算子
更一般的，我们会遇到非线性算子。最简单的例子就是各种函数空间中不同的能量泛函。非线性算子在微分几何和微分方程理论中起着重要的作用，例如最小曲面就是能量泛函的极小点。
4选择公理
泛函分析研究的空间大多是无限的。为了证明无限维向量空间中存在一组基，必须使用左恩定理。此外，泛函分析中的大多数重要定理都是基于汉巴拿赫定理，而汉巴拿赫定理本身是一种形式，即选择公理弱于布尔素理想定理。
5历史介绍
背景
自19世纪以来，数学的发展进入了一个新阶段。即由于对欧几里德第五公设的研究，引入了一门新的学科——非欧几里德几何。对于求解代数方程组的一般思想，群论最终得以建立和发展；数学分析的研究建立了集合论。这些新理论为用统一的观点概括经典分析的基本概念和方法准备了条件。这时，函数的概念被赋予了更一般的含义，经典分析中的函数概念是指两个数据集之间建立的一种对应关系。但是，现代数学的发展要求在两个任意集合之间建立对应关系。
由于分析中许多新部门的形成，揭示了分析、代数和集合的许多概念和方法往往有相似之处。比如逐次逼近法可以用来求代数方程的根，可以用来解微分方程，解的存在唯一性条件非常相似。这种相似性在积分方程理论中更加突出。泛函分析的出现恰恰与这种情况有关，一些看似不相干的东西也有相似之处。因此，它启发人们从这些相似的事物中去探索普遍的、真正本质的东西。
非欧几何的建立拓宽了人们对空间的认知，N维空间几何的出现让我们可以用几何的语言把多元函数解释成多维空间的图像。这样，分析和几何的相似性就表现出来了，就有了几何分析的可能性。这种可能性需要进一步推广几何的概念，最后把欧几里得空间扩展成一个无限维的空间。
20世纪初，在瑞典数学家弗利特霍尔姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了概化分析科学的种子。后来希尔伯特和海陵哲来创作？希尔伯特空间？研究。到了20世纪20年代，数学领域逐渐形成了一般分析，即泛函分析的基本概念。研究无限维线性空间中的泛函数和算子理论产生了一种新的分析数学，称为泛函分析。在20世纪30年代，泛函分析已经成为数学中一门独立的学科。
研究现状
功能分析目前包括以下分支:
Softanalysis旨在用拓扑群、拓扑环和拓扑向量空间的语言表达数学分析。
Banach空间的几何结构以JeanBourgain的一系列作品为代表。
非交换几何，这个方向的主要贡献者包括AlainConnes，他的部分工作是基于GeorgeMackey的遍历理论中的结果。
与量子力学相关的理论在狭义上被称为数学物理，从更广的角度来看，如IsraelGelfand所描述的，它们包含了表象理论的大部分类型的问题。
6特点和内容
泛函分析的特点是既概括了经典分析的基本概念和方法，又将其几何化。例如，不同类型的函数可以视为？函数空间？的点或向量，所以最后得到了？抽象空间？这个总的概念。它不仅包括前面讨论的几何对象，还包括不同的函数空间。
泛函分析是研究现代物理的有力工具。n维空间可以用来描述具有n个自由度的机械系统的运动。事实上，需要新的数学工具来描述一个具有无限自由度的机械系统。例如，梁的振动就是一个具有无限自由度的机械系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，需要从有限自由度的系统过渡到无限自由度的系统。现代物理学中的量子场论属于无限自由度体系。
就像研究一个有限自由度的系统需要N维空间的几何和微积分作为工具一样，研究一个无限自由度的系统需要无限空间的几何和分析，这是泛函分析的基本内容。因此，泛函分析也可以通俗地称为无限维空间的几何和微积分。经典分析中的基本方法，即用线性对象逼近非线性对象，完全可以应用到泛函分析中。
泛函分析是分析数学中最重要的方法。年轻？的一个分支，是经典分析的推广，它综合了函数论、几何和代数的观点，研究无限向量空间中的函数、算子和极限理论。到了四五十年代，成为一门理论完备、内容丰富的数学学科。
半个多世纪以来，泛函分析一方面从许多其他学科提供的材料中提取其研究对象和一些研究方法，形成了自己的许多重要分支，如算子谱理论、Banach代数、拓扑线性空间理论、广义函数理论等；另一方面，它也有力地促进了许多其他分析学科的发展。在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中有重要应用。它也是建立群上调和分析理论的基本工具，是研究无限自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗透到许多工程学科中，成为现代分析的基础之一。
泛函分析广泛应用于数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理等学科。近十年来，泛函分析在工程技术中得到了更有效的应用。它也渗透到数学的各个分支，起着重要的作用。