简述中国数学发展史上的三个高峰期，谈谈中国古代数学的特点和局限性。

唐朝灭亡后，五代十国依然是军阀混战的延续。直到北宋统一中国，农业、手工业和商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进。十一世纪至十四世纪(宋元)，计算数学达到顶峰，是中国古代数学空前繁荣、硕果累累的鼎盛时期。这一时期，出现了一批著名的数学家和数学著作。分别列举如下:贾宪的《黄帝九章》(165438+20世纪中叶)、的《上古起源论》(65438+2世纪中叶)、秦的《数书九章》(65438)。杨辉九章算法(1261)，日常算法(1262)，杨辉算法(1274-65438)。

公元1050年左右，北宋贾宪(生卒年不详)在《黄帝九章》中创造了“增、乘、开任意高次之法”。直到公元1819年，英国人威廉·乔治·霍纳也想出了同样的方法。贾宪还列出了二项式定理系数表，直到17世纪的欧洲。

北宋沈括在1088-1095年期间，从餐厅数量、梯田容积等生产实践问题出发，提出了“缺口积法”，开始研究高阶等差数列求和，建立了正确的求和公式。沈括还提出了“会圆术”，获得了中国古代数学史上第一个弧长近似值。

公元1247年，南宋秦在《舒舒九章》中推广了乘除法，并描述了高次方程的数值解法。他列举了20多个来自实践的高阶方程的解，其中最高的是一个十次方程。直到16世纪的欧洲，意大利人西皮奥·德尔·费罗才提出了三次方程的解法。秦还系统地研究了一次同余的理论。

公元1248年，李志(公元1192-1279年)撰写了《测圆海镜》，这是第一部系统论述“天术”(一元高次方程)的著作，是数学史上的杰出成就。在《序言》中，叶莉批判了贬低科学实践、把数学视为“拙劣的技能”和“玩物丧志”的谬误。

公元1261年，南宋杨辉(生卒年不详)用“堆砌术”求几种高阶等差数列之和。公元1274年，他还描述了“九归法”，介绍了各种乘除法的计算方法。

公元1303年，元朝的朱世杰(生卒年不详)写了四元素的玉镜。他把“天术”推广到“四元术”(四元高阶联立方程)，提出了消元法。直到公元1775年，欧洲的法国人艾蒂安·贝佐特(etienne bezout)才提出了同样的解决方案。在此基础上得到了高阶差分的插值公式，一般的插值公式是英国人詹姆斯·格雷戈里在欧洲直到1670和伊萨克·牛顿从1676到1678提出的。

公元14世纪，中国人使用算盘。在现代计算机出现之前，算盘是世界上一种简单而有效的计算工具。

中国数学的特点和局限性

(1)以算法为中心，属于应用数学。中国数学不脱离社会生活和生产的实际，以解决实际问题为目的。数学研究以建立算法和提高计算技术为中心。

(2)它具有很强的社会性。在中国传统的数学文化中，数学是六艺(礼、乐、射、御、书、数)之一，是儒家培养出来的。它的作用是“体悟神明，顺从生命，管理世界，象万物”，所以中国的传统数学总是烙上中国哲学和古代学术思想的印记，往往与技巧的多少有关。

(3)理论高度概括。因为中国传统数学注重解决实际问题，也因为中国人的综合归纳思维决定了中国传统数学不在乎数学理论的形式化，但这并不意味着中国传统只停留在经验层面而没有理论成果。中国的数学算法其实就包含了建立这些算法的理论基础。中国的数学家习惯于把数学概念和方法建立在少数几个自明、直观的数学原理上，如代数中的“率”论，平面几何中的“互补进出”原理，立体几何中的“杨马术”，曲面理论中的“截口原理”(或称刘祖原理，即原理)等等。

中国数学对世界的影响

数学活动有两个基本任务——证明和计算。前者是因为接受了公理化(演绎)的数学文化传统，后者是因为接受了机械化(算法化)的数学文化传统。在世界数学文化传统中，以欧几里得《几何原本》为代表的希腊数学无疑是西方演绎数学传统的基础，而以《九章算术》为代表的中国数学无疑是东方算法数学传统。

中国的数学通过丝绸之路传到印度和阿拉伯，后来又通过阿拉伯人传到西方。而且，在汉字文化圈，它一直影响着日本、朝鲜半岛、越南等亚洲国家的数学发展。