求拉普拉斯方程的数据
R1和r2可以表示液体表面的曲率。如果液面是弯曲的，液体内部的压力p1将与液体外部的压力p2不同，液面两侧将产生压差△p=。
p1-
P2的值与液体表面的曲率有关，可表示为:
数学方程中，拉普拉斯方程为:△ u = d 2u/dx 2+d 2u/dy 2 = 0，其中△为拉普拉斯算子，这里的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。在三维情况下，拉普拉斯方程可以用以下形式描述，问题归结为求解对实自变量X，Y，z二阶可微的实函数φ。
上述等式通常被缩写为:
或者
其中div表示向量场的散度(结果为标量场)，grad表示标量场的梯度(结果为向量场)，或者缩写为:
其中δ称为拉普拉斯算子。
拉普拉斯方程的解叫做调和函数。
如果等号的右边是给定的函数f(x，
y，
z)，即:
那么这个方程就叫做泊松方程。
拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆偏微分方程。偏微分算子或δ(可以在任意维空间定义)称为拉普拉斯算子。
拉普拉斯
操作员
或者简称为
拉普拉斯算子.
拉普拉斯方程的狄利克雷问题可以归结为求解定义在区域D中的函数φ，使其等于D边界上的一个给定函数.为了叙述方便，作为拉普拉斯算子应用实例之一的热传导问题， 作为背景来介绍:一个区域边界上的温度(是边界上各点位置坐标的函数)是固定的，直到区域内的温度分布被热传导稳定，这个温度分布场就是对应的狄利克雷问题的解。
拉普拉斯方程的Neumann边界条件并不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D边界法线方向的导数..从物理的角度来看，这个边界条件给出了矢量场在区域边界的势分布的已知效应(对于热传导问题，这个效应就是边界热流)。
拉普拉斯方程的解称为调和函数，在方程成立的区域内是解析的。若任意两个函数满足拉普拉斯方程(或任意线性微分方程)，则这两个函数的和(或任意线性组合)也满足前述方程。这个非常有用的性质叫做叠加原理。根据这一原理，可以将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造一个应用范围更广的通解。
在流场中的应用
让u，v
它们是分别满足定常、不可压和无旋条件的流体速度场的x。
y呢
方向分量(这里只考虑二维流场)，则不可压缩条件为:
不旋转的条件是:
如果标量函数ψ被定义为其微分满足:
那么不可压条件就是上述微分方程的可积条件。积分的结果函数ψ称为流函数，因为同一流线上各点的值是相同的。ψ的一阶导数为:
无自旋状态
才能
满足拉普拉斯方程。ψ的共轭调和函数称为速度势。
柯西-黎曼方程问道。
因此，每个解析函数对应于平面上一个稳定的不可压缩的无涡流场。解析函数的实部是速度势函数，虚部是流函数。