刘徽与“割礼”
那么，“割圆术”到底是什么？所谓“割线法”，就是利用正多边形内接于圆的周长无限逼近周长，计算圆周率的方法。这种方法是刘徽在批判和总结数学史上各种旧的计算方法后创造的一种全新的方法。
中国古代从先秦时期就一直取“三周上一径”(即周长与直径之比为三比一)的数来计算圆。但是用这个值计算出来的结果往往误差很大。正如刘辉所说，“三周径一”计算出来的圆的周长，其实并不是一个圆的周长，而是一个正六边形内接的圆的周长，其值远小于实际周长。东汉的张衡对这个结果并不满意。他通过研究圆和它的外接圆之间的关系开始得到圆周率。这个数值比“三周径一”要好，但刘辉认为计算出来的周长一定比实际周长大，是不准确的。刘徽在极限思想的指导下，提出了计算圆周率的“割线”法，不仅大胆创新，而且严谨，为圆周率的计算指出了一条科学的途径。
在刘辉看来，由于“三周径一”算出的周长实际上是正六边形内接的圆的周长，与周长相差很大；那么我们就可以在内接正六边形的基础上把圆周分成六段圆弧，然后继续把每段圆弧一分为二，这样就做了一个内接于圆的正十二边形。这个正十二边形的周长不是比正六边形的周长更接近圆周吗？如果圆周被进一步分成与正四边形内接的圆，那么正四边形的圆周必然比正十二边形的圆周更接近圆周...这说明圆周划分得越细，误差越小，内接正多边形的圆周越接近圆周。这种划分一直持续到圆周不能再划分，即当圆内接正多边形的边数为无穷大时，其周长与圆周“吻合”，完全一致。
按照这个思路，刘辉计算了正多边形与正3072边多边形内接的圆的面积，从而得到圆周率的两个近似值3.14和3.1416。这个结果是当时世界上计算圆周率最准确的数据。刘徽对自己创造的这种“割线圆”的新方法非常有信心，并将其推广到圆计算的各个方面，从而大大推进了汉代以来数学的发展。后来南北朝时，祖冲之在刘徽的基础上继续努力，终于把圆周率精确到小数点后第七位。在西方，这一成果是法国数学家吠陀在1593年取得的，比祖冲之晚了1100多年。祖冲之还得出了圆周率的两个分数值，一个是“减少率”，一个是“密度率”。在西方，这个数值是由德国的奥托和荷兰的安东尼兹在16年底得出的，比祖冲之晚了1100年。历史永远不会忘记刘徽的“割线圆”新方法对中国古代数学发展的巨大贡献。
用内接或外切正多边形求圆周率近似值的方法是基于这样的原理:当正多边形的边数增加时，其边长逐渐接近周长。早在公元前5世纪，古希腊学者安·堤丰就设计了一种方法，研究把圆变成正方形的问题:先把一个圆内接一个正四边形，再把一个圆内接一个正八边形，然后边数一个接一个地加倍，直到正多边形的边小到与它们各自的圆周部分重合，才能完成把圆变成正方形的问题。到了公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德在他的《论球和阅读柱》一书中用穷举法建立了一个命题:只要有足够多的边，圆的外切正多边形的面积和其内接正多边形的面积之差可以任意小。阿基米德也在《圆的测量》一书中，用正多边形的切圆法得出圆周率小于3 1/7，大于3 1/70的值。他还说，圆的面积与西布特正方形的面积之比是11: 14，也就是圆周率等于22/7。公元263年，我国数学家刘徽在《九章算术笔记》中提出了“割圆”理论。他从圆内一个正六边形开始，每次边数加倍，直到圆内正六边形连起来，圆周率为3.14或157/50，后来称为惠率。书中还记载了更准确的圆周率值，3927/1250(等于3.1416)。刘辉断言“你切得仔细，损失不大，再切就切不了了，那你就融入圈子了，没什么损失。”他的思想与古希腊的穷竭法不谋而合。圆周率在圆周率计算的历史上使用了很长时间。1610年，德国数学家柯伦用2 ^ 62个多边形计算圆周率到小数点后35位。1630年，格林伯格用改进的方法计算到小数点后39位，成为圆周率计算圆周率的最好结果。解析法发明后，逐渐取代了分圆法，但分圆法作为最早计算圆周率的科学方法，一直为人们所称道。刘辉的割圆术简单严谨，充满程序，可以继续除法，得到更精确的圆周率。南北朝著名数学家祖冲之用刘徽割线术计算了11次，把圆分成12288个多边形，得到pi = 355/133(= 3.1415929)，成为此后千年间世界上最精确的。